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主成分分析（PCA）是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程，有时只使用前几个主成分，而忽略其余部分。

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|PCA with Robustness to Missing Entries

Recall from Section $2.1 .2$ that in the PCA problem, we are given $N$ data points $\mathcal{X} \doteq\left{x_{j} \in \mathbb{R}^{D}\right}_{j=1}^{N}$ drawn (approximately) from a $d$-dimensional affine subspace $S \doteq{x=\mu+U y}$, where $\mu \in \mathbb{R}^{D}$ is an arbitrary point in $S, U \in \mathbb{R}^{D \times d}$ is a basis for $S$, and $\mathcal{Y}=\left{y_{j} \in \mathbb{R}^{d}\right}_{j=1}^{N}$ are the principal components.

In this section, we consider the PCA problem in the case that some of the given data points are incomplete. A data point $\boldsymbol{x}=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{D}\right]^{\top}$ is said to be incomplete when some of its entries are missing or unspecified. For instance, if the $i$ th entry $x_{i}$, of $x$ is missing, then $x$ is known only up to a line in $\mathbb{R}^{D}$, i.e.,
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{x} \in L & \doteq\left{\left[x_{1}, \ldots, x_{i-1}, x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{D}\right]^{\top}, x_{i} \in \mathbb{R}\right} \
&=\left{x_{-i}+x_{i} e_{i}, x_{i} \in \mathbb{R}\right}
\end{aligned}
$$
where $\boldsymbol{x}{-i}=\left[x{1}, \ldots, x_{i-1}, 0, x_{i+1}, \ldots, x_{D}\right]^{\top} \in \mathbb{R}^{D}$ is the vector $\boldsymbol{x}$ with its ith entry zeroed out and $e_{i}=[0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0]^{\top} \in \mathbb{R}^{D}$ is the ith basis vector. More generally, if the point $x$ has $M$ missing entries, without loss of generality we can partition it as $\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{x}{U} \ \boldsymbol{x}{O}\end{array}\right]$, where $\boldsymbol{x}{U} \in \mathbb{R}^{M}$ denotes the unobserved entries and $x{O} \in \mathbb{R}^{D-M}$ denotes the observed entries. Thus, $x$ is known only up to the following $M$-dimensional affine subspace:
$$
x \in L \doteq\left{\left[\begin{array}{c}
0 \
x_{O}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
I_{M} \
0
\end{array}\right] x_{U}, x_{U} \in \mathbb{R}^{M}\right}
$$
Incomplete PCA When the Subspace Is Known
Let us first consider the simplest case, in which the subspace $S$ is known. Then we know that the point $\boldsymbol{x}$ belongs to both $L$ and $S$. Therefore, given the parameters $\mu$ and $U$ of the subspace $S$, we can compute the principal components $y$ and the missing entries $\boldsymbol{x}_{U}$ by intersecting $L$ and $S$. In the case of one missing entry (illustrated in Figure 3.1), the intersection point can be computed from a $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}{-i}+x{i} \boldsymbol{e}{i}=\boldsymbol{\mu}+U \boldsymbol{y} \Longrightarrow\left[U-\boldsymbol{e}{i}\right]\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{y} \ x_{i}\end{array}\right]=\boldsymbol{x}_{-i}-\boldsymbol{\mu} .$

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Incomplete PCA by Mean and Covariance Completion

Recall from Section 2.1.2 that the optimization problem associated with geometric PCA is
$$
\min {\mu, U,\left{y{j}\right}} \sum_{j=1}^{N}\left|x_{j}-\mu-U y_{j}\right|^{2} \text { s.t. } U^{\top} U=I_{d} \text { and } \sum_{j=1}^{N} y_{j}=\mathbf{0} .
$$
We already know that the solution to this problem can be obtained from the mean and covariance of the data points,
$$
\hat{\mu}{N}=\frac{1}{N} \sum{j=1}^{N} x_{j} \quad \text { and } \quad \hat{\Sigma}{N}=\frac{1}{N} \sum{j=1}^{N}\left(x_{j}-\hat{\mu}{N}\right)\left(x{j}-\hat{\mu}{N}\right)^{\top} $$ respectively. Specifically, $\boldsymbol{\mu}$ is given by the sample mean $\hat{\mu}{N}, U$ is given by the top $d$ eigenvectors of the covariance matrix $\hat{\Sigma}{N}$, and $y{j}=U^{\top}\left(x_{j}-\mu\right)$. Alternatively, an optimal solution can be found from the rank- $d$ SVD of the mean-subtracted data matrix $\left[x_{1}-\hat{\mu}{N}, \ldots, x{N}-\hat{\mu}_{N}\right]$, as shown in Theorem $2.3$.

When some entries of each $\boldsymbol{x}{j}$ are missing, we cannot directly compute $\hat{\mu}{N}$ or $\hat{\Sigma}_{N}$ as in (3.11). A straightforward method for dealing with missing entries was introduced in (Jolliffe 2002). It basically proposes to compute the sample mean and covariance from the known entries of $X$. Specifically, the entries of the incomplete mean and covariance can be computed as
$$
\hat{\mu}{i}=\frac{\sum{j=1}^{N} w_{i j} x_{i j}}{\sum_{j=1}^{N} w_{i j}} \text { and } \hat{\sigma}{i k}=\frac{\sum{j=1}^{N} w_{i j} w_{k j}\left(x_{i j}-\hat{\mu}{i}\right)\left(x{k j}-\hat{\mu}{k}\right)}{\sum{j=1}^{N} w_{i j} w_{k j}}
$$
where $i, k=1, \ldots, D$. However, as discussed in (Jolliffe 2002), this simple approach has several disadvantages. First, the estimated covariance matrix need not be positive semidefinite. Second, these estimates are not obtained by optimizing any statistically or geometrically meaningful objective function (least squares, maximum likelihood, etc.) Nonetheless, estimates $\hat{\mu}{N}$ and $\hat{\Sigma}{N}$ obtained from the naive approach in (3.12) may be used to initialize the methods discussed in the next two sections, which are iterative in nature. For example, we may initialize the columns of $U$ as the eigenvectors of $\hat{\Sigma}{N}$ associated with its $d$ largest eigenvalues. Then given $\hat{\mu}{N}$ and $\hat{U}$, we can complete each missing entry as described in (3.6).

主成分分析代考

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|PCA with Robustness to Missing Entries

从部分召回 $2.1 .2$ 在 $\mathrm{PCA}$ 问题中，我们得到 $N$ 数据点
Imathcal ${\mathrm{X}} \backslash$ doteq left $\left{\mathrm{x}{-}{\mathrm{j}} \backslash\right.$ in $\backslash$ math bb $\left.{\mathrm{R}} \wedge \mathrm{D}\right} \backslash$ right $}{-}{\mathrm{j}=1} \wedge{\mathrm{N}}$ (大约) 从一个 $d$ 维仿射子 空间 $S \doteq x=\mu+U y$ ， 在哪里 $\mu \in \mathbb{R}^{D}$ 是一个任意点 $S, U \in \mathbb{R}^{D \times d}$ 是一个基础 $S$ ，和
在本节中，我们在昃些给定数据点不完整的情况下考虑 PCA 问题。一个数据点
$\boldsymbol{x}=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{D}\right]^{\top}$ 当它的某些条目丢失或末指定时，称为不完整。例如，如果 $i$ 第 条目 $x_{i}$ ，的 $x$ 不见了，那么 $x$ 只知道最茤一行 $\mathbb{R}^{D}$ ，那是，
在哪里 $\boldsymbol{x}-i=\left[x 1, \ldots, x_{i-1}, 0, x_{i+1}, \ldots, x_{D}\right]^{\top} \in \mathbb{R}^{D}$ 是向量 $\boldsymbol{x}$ 其第 $\mathrm{i}$ 个条目归零并 且 $e_{i}=[0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0]^{\top} \in \mathbb{R}^{D}$ 是第 $\mathrm{i}$ 个基向量。更一般地说，如果点 $x$ 有 $M$ 丟 失条目，不失一般性，我们可以将其划分为 $[x U x O]$ ，在哪里 $x U \in \mathbb{R}^{M}$ 表示末观崇到 的条目和 $x O \in \mathbb{R}^{D-M}$ 表示观崇到的条目。因此， $x$ 只知道以下 $M$ 维仿射子空间:
子空间已知时的不完全 PCA
让我们首先考虑最简单的情况，其中子空间 $S$ 是已知的。然后找们知道重点 $\boldsymbol{x}$ 属于两者 $L$ 和
$S$. 因此，给定参数 $\mu$ 和 $U$ 子空间的 $S$ ，我们可以计算主成分 $y$ 和丢失的条目 $x_{U}$ 通过相交 $L$
和 $S$. 在缺少一个条目的情况下 (如图 $3.1$ 所示)，交点可以从
$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}-i+x i \boldsymbol{e i}=\boldsymbol{\mu}+U \boldsymbol{y} \Longrightarrow[U-\boldsymbol{e i}]\left[\boldsymbol{y} x_{i}\right]=\boldsymbol{x}_{-i}-\boldsymbol{\mu} .$

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Incomplete PCA by Mean and Covariance Completion

回顾第 $2.1 .2$ 节，与几何 PCA 相关的优化问题是
我们已经知道这个问题的解可以从数据点的均值和协方差中得到，
$$
\hat{\mu} N=\frac{1}{N} \sum j=1^{N} x_{j} \quad \text { and } \quad \hat{\Sigma} N=\frac{1}{N} \sum j=1^{N}\left(x_{j}-\hat{\mu} N\right)(x j-\hat{\mu} N)
$$
分别。具体来说, $\boldsymbol{\mu}$ 由样本均值给出 $\hat{N} N, U$ 由顶部给出 $d$ 协方差矩阵的特征向量 $\hat{\Sigma} N$ ，和 $y j=U^{\top}\left(x_{j}-\mu\right)$. 或者，可以从排名中找到最佳解决方䋈- $-$ 减去均值的数据矩阵的 $\operatorname{SVD}\left[x_{1}-\hat{\mu} N, \ldots, x N-\hat{\mu}{N}\right]$ ，如定理所示 $2.3$. 当每个条目的某些条目 $\boldsymbol{x} j$ 缺失，我们无法直接计算 $\hat{\mu} N$ 或者 $\hat{\Sigma}{N}$ 如（3.11）。(Jolliffe 2002) 中介绍了一种处理㿝失条目的简单方法。它基本上建议从已知条目中计算样本均值 和协方差 $X$. 具体来说，不完全均值和协方差的条目可以计算为
$$
\hat{\mu} i=\frac{\sum j=1^{N} w_{i j} x_{i j}}{\sum_{j=1}^{N} w_{i j}} \text { and } \hat{\sigma} i k=\frac{\sum j=1^{N} w_{i j} w_{k j}\left(x_{i j}-\hat{\mu} i\right)(x k j-\hat{\mu} k)}{\sum j=1^{N} w_{i j} w_{k j}}
$$
在哪里 $i, k=1, \ldots, D$. 然而，正如 (Jolliffe 2002) 中所讨论的，这种简单的方法有几个 缺点。首先，估计的协方差矩阵不必是半正定的。其次，这些估计不是通过优化任何具有 统计意义或几何意义的目标函数（最小二乘、最大似然等）而获得的。尽管如此，估计 $\hat{\mu} N$ 和 $\hat{\Sigma} N$ 从（3.12）中的朴膆方法获得的可用于初始化接下来两节中讨论的方法，这些 方法本质上是朱代的。例如，我们可以初始化U作为的特征向量 $\hat{\Sigma} N$ 与其相关的 $d$ 最大特征 值。然后給出 $\hat{\mu} N$ 和 $\hat{U}$ ，我们可以完成 (3.6) 中描述的每个缺失的条目。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。