统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|ENVX2001

Doug I. Jones

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|ENVX2001

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Incomplete PPCA by Expectation Maximization

In this section, we derive an EM algorithm (see Appendix B.2.1) for solving the PPCA problem with missing data. Recall from Section $2.2$ that in the PPCA model, each data point is drawn as $x \sim \mathcal{N}\left(\mu_{x}, \Sigma_{x}\right)$, where $\mu_{x}=\mu$ and $\Sigma_{x}=B B^{\top}+\sigma^{2} I_{D}$, where $\mu \in \mathbb{R}^{D}, B \in \mathbb{R}^{D \times d}$, and $\sigma>0$. Recall also from (2.56) that the log-likelihood of the PPCA model is given by
\mathscr{L}=-\frac{N D}{2} \log (2 \pi)-\frac{N}{2} \log \operatorname{det}\left(\Sigma_{x}\right)-\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{N} \operatorname{trace}\left(\Sigma_{x}^{-1}\left(x_{j}-\mu\right)\left(x_{j}-\mu\right)^{\top}\right),
where $\left{x_{j}\right}_{j=1}^{N}$ are $N$ i.i.d. samples of $\boldsymbol{x}$. Since the samples are incomplete, we can partition each point $x$ and the parameters $\mu_{x}$ and $\Sigma_{x}$ as
x_{U} \
\end{array}\right]=P x, \quad\left[\begin{array}{l}
\mu_{U} \
\end{array}\right]=P \mu, \quad \text { and }\left[\begin{array}{cc}
\Sigma_{U U} & \Sigma_{U O} \
\Sigma_{O U} & \Sigma_{O O}
\end{array}\right]=P \Sigma_{x} P^{\top} .
Here $\boldsymbol{x}{O}$ is the observed part of $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}{U}$ is the unobserved part of $\boldsymbol{x}$, and $P$ is any permutation matrix that reorders the entries of $\boldsymbol{x}$ so that the unobserved entries appear first. Notice that $P$ is not unique, but we can use any such $P$. Notice also that the above partition of $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\mu}{x}$, and $\Sigma{x}$ could be different for each data point, because the missing entries could be different for different data points. When strictly necessary, we will use $x_{j U}$ and $x_{j o}$ to denote the unobserved and observed parts of point $x_{j}$, respectively, and $P_{j}$ to denote the permutation matrix. Otherwise, we will avoid using the index $j$ in referring to a generic point.

In what follows, we derive two variants of the EM algorithm for learning the parameters $\theta=(\mu, B, \sigma)$ of the PPCA model from incomplete samples $\left{x_{j}\right}_{j=1}^{N}$. The first variant, called Maximum a Posteriori Expectation Maximization (MAP-EM), is an approximate EM method whereby the unobserved variables are given by their MAP estimates (see Appendix B.2.2). The second variant is the exact EM algorithm (see Appendix B.2.1), where we take the conditional expectation of $\mathscr{L}$ over the incomplete entries. Interestingly, both variants lead to the same estimate for $\mu_{x}$, though the estimates for $\Sigma_{x}$ are slightly different. In our derivations, we will use the fact that the conditional distribution of $\boldsymbol{x}{U}$ given $\boldsymbol{x}{O}$ is Gaussian. More specifically, $x_{U} \mid x_{O} \sim \mathcal{N}\left(\mu_{U \mid O}, \Sigma_{U \mid O}\right)$, where
\mu_{U \mid O}=\mu_{U}+\Sigma_{U O} \Sigma_{O O}^{-1}\left(x_{O}-\mu_{O}\right) \text { and } \Sigma_{U \mid O}=\Sigma_{U U}-\Sigma_{U O} \Sigma_{O O}^{-1} \Sigma_{O U} .

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Matrix Completion by Convex Optimization

The EM-based approaches to incomplete PPCA discussed in the previous section rely on (a) explicit parameterizations of the low-rank factors and (b) minimization of a nonconvex cost function in an alternating minimization fashion. Specifically, such approaches alternate between completing the missing entries given the parameters of a PPCA model for the data and estimating the parameters of the model from complete data. While simple and intuitive, such approaches suffer from two important disadvantages. First, the desired rank of the matrix needs to be known in advance. Second, due to the greedy nature of the EM algorithm, it is difficult to ensure convergence to the globally optimal solution. Therefore, a good initialization of the EM-based algorithm is critical for converging to a good solution.

In this section, we introduce an alternative approach that solves the low-rank matrix completion problem via a convex relaxation. As we will see, this approach allows us to complete a low-rank matrix by minimizing a convex objective function, which is guaranteed to have a globally optimal minimizer. Moreover, under rather benign conditions on the missing entries, the global minimizer is guaranteed to be the correct low-rank matrix, even without knowing the rank of the matrix in advance.
A rigorous justification for the correctness of the convex relaxation approach requires a deep knowledge of high-dimensional statistics and geometry that is beyond the scope of this book. However, this does not prevent us from introducing and summarizing here the main ideas and results, as well as the basic algorithms offered by this approach. Practitioners can apply the useful algorithm to their data and problems, whereas researchers who are more interested in the advanced theory behind the algorithm may find further details in (Cai et al. 2008; Candès and Recht 2009; Candès and Tao 2010; Gross 2011 ; Keshavan et al. 2010a; Zhou et al. 2010a).

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|ENVX2001


统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Incomplete PPCA by Expectation Maximization

在本节中,我们推导出一个 EM 算法 (见附录 B.2.1),用于解决缺失数据的 PPCA 问题。 从部分召回 $2.2$ 在 PPCA 模型中,每个数据点被绘制为 $x \sim \mathcal{N}\left(\mu_{x}, \Sigma_{x}\right)$ ,在哪里 $\mu_{x}=\mu$ 和 $\Sigma_{x}=B B^{\top}+\sigma^{2} I_{D}$ , 在哪里 $\mu \in \mathbb{R}^{D}, B \in \mathbb{R}^{D \times d}$ , 和 $\sigma>0$. 还记得 (2.56) 中 PPCA 模型的对数似然由下式给出
\mathscr{L}=-\frac{N D}{2} \log (2 \pi)-\frac{N}{2} \log \operatorname{det}\left(\Sigma_{x}\right)-\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{N} \operatorname{trace}\left(\Sigma_{x}^{-1}\left(x_{j}-\mu\right)\left(x_{j}-\mu\right)^{\top}\right)
$$ 进行分区 $x$ 和参数 $\mu_{x}$ 和 $\Sigma_{x}$ 作为 $\left[x_{U} x_{O}\right]=P x, \quad\left[\mu_{U} \mu_{O}\right]=P \mu, \quad$ and $\left[\begin{array}{lll}\Sigma_{U U} & \Sigma_{U O} \Sigma_{O U} \quad \Sigma_{O O}\end{array}\right]=P \Sigma_{x} P^{\top}$
这里 $\boldsymbol{x} O$ 是观察到的部分 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} U$ 是末被观察到的部分 $\boldsymbol{x} ,$ 和 $P$ 是重新排序的条目的任何置 换矩阵 $\boldsymbol{x}$ 以便首先出现末观㟯到的条目。请注意 $P$ 不是唯一的,但我们可以使用任何这样的 $P$. 另请注意,上述分区 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\mu} x ,$ 和 $\Sigma x$ 每个数据点可能不同,因为不同数据点的缺失条目 可能不同。严格必要时,我们将使用 $x_{j U}$ 和 $x_{j 0}$ 表示点的末观䕓到和观察到的部分 $x_{j}$ ,分别 和 $P_{j}$ 来表示置换矩阵。否则,我们将避免使用索引 $j$ 在提到一个通用点。
在下文中,我们推导出用于学习参数的 EM 算法的两种变体 $\theta=(\mu, B, \sigma)$ 不完整样本的 PPCA 模型 Vleft{x_{j}>ight $}_{-}{j=1}{{N}$. 第一个变体,称为最大后验期望最大化 (MAP-EM), 是一种近似 EM 方法,其中末观倇到的变量由它们的 MAP 估计值給出(参见附录

B.2.2)。第二个变体是精确的 EM 算法(见附录 B.2.1),我们将条件期望 $\mathscr{L}$ 在不完整的 条目上。有趣的是,这两种变体导致相同的估计 $\mu_{x}$ ,虽然估计为 $\Sigma_{x}$ 略有不同。在我们的 推导中,我们将使用条件分布 $\boldsymbol{x} U$ 给定 $\boldsymbol{x} O$ 是高斯的。进一步来说, $x_{U} \mid x_{O} \sim \mathcal{N}\left(\mu_{U \mid O}, \Sigma_{U \mid O}\right)$ , 在哪里
\mu_{U \mid O}=\mu_{U}+\Sigma_{U O} \Sigma_{O O}^{-1}\left(x_{O}-\mu_{O}\right) \text { and } \Sigma_{U \mid O}=\Sigma_{U U}-\Sigma_{U O} \Sigma_{O O}^{-1} \Sigma_{O U}

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Matrix Completion by Convex Optimization

上一节中讨论的基于 EM 的不完全 PPCA 方法依赖于 (a) 低秩因子的显式参数化和 (b) 以交替最小化方式最小化非凸成本函数。具体来说,这种方法在给定数据的 PPCA 模型参数的情况下完成缺失条目和从完整数据估计模型参数之间交替进行。虽然简单直观,但这种方法有两个重要的缺点。首先,需要预先知道矩阵的期望秩。其次,由于EM算法的贪心特性,难以保证收敛到全局最优解。因此,基于 EM 的算法的良好初始化对于收敛到良好的解决方案至关重要。

要严格证明凸松弛方法的正确性,需要对高维统计和几何学有深入的了解,这超出了本书的范围。但是,这并不妨碍我们在这里介绍和总结主要思想和结果,以及这种方法提供的基本算法。从业者可以将有用的算法应用于他们的数据和问题,而对算法背后的高级理论更感兴趣的研究人员可以在 (Cai et al. 2008; Candès and Recht 2009; Candès and Tao 2010; Gross 2011; Keshavan 等人 2010a;Zhou 等人 2010a)。

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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。


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