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流体力学是物理学的一个分支,涉及流体(液体、气体和等离子体)的力学和对它们的力。它的应用范围很广,包括机械、土木工程、化学和生物医学工程、地球物理学、海洋学、气象学、天体物理学和生物学。
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物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Viscous penalty method
The viscous penalty method, used in this chapter to perform particle-resolved direct numerical simulations, is a fictitious domain method where fixed staggered Cartesian grids are used to discretize both fluid and solid media. As explained by Kataoka (1986) for fluid/fluid two-phase flows and Vincent et al. (2014) for particle flows, the resulting model implicitly takes into account the coupling between different phases separated by resolved interfaces, i.e. larger than the mesh cell size. Given that all the configurations simulated in this chapter involve fixed particles, the motion equations then read:
$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{u} &=0 & \text { [3.1] } \
\rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}\right) &=-\nabla p+\rho \mathbf{g}+\nabla \cdot\left[\mu\left(\nabla \mathbf{u}+\nabla^{t} \mathbf{u}\right)\right]+\mathbf{F}{m} & \text { [3.2] } \end{aligned} $$ where $\mathbf{u}$ is the velocity, $p$ is the pressure, $t$ is the time, $\mathbf{g}$ is the gravity vector, and $\rho$ and $\mu$ are, respectively, the density and viscosity of the equivalent fluid. The source term $\mathbf{F}{m}$ is used to impose a flow rate to the fluid if required.
The one-fluid model is almost identical to the classical incompressible Navier-Stokes equations, except that the local properties of the equivalent fluid $(\rho$ and $\mu$ ) depend on $C$. In this chapter, an arithmetic average is used for density $\left(\rho=C \rho_{s}+(1-C) \rho_{f}\right)$ and a harmonic average is considered for viscosity $\left(\mu=\frac{\mu_{s} \mu_{f}}{C \mu_{f}+(1-C) \mu_{s}}\right)$ (Vincent et al. 2014).
Satisfying the incompressible and solid constraints in fluid and particles requires developing a specific model. Two penalty approaches are proposed and detailed in the next section to tackle with these constraints:
- ensuring the solid behavior in the solid zones where $C=1$ requires a specific rheological law to be defined for the rigid fluid part without imposing the velocity, as the particle velocities are not always known a priori in particulate motions (particle sedimentation, fluidized beds, turbulence particle interaction). A specific model is implemented for handling the solid particle behavior in the one-fluid Navier-Stokes equations. It is based on a decomposition of the viscous stress tensor and on a penalty method that acts on the viscosity, which tends to large values in the particles (Caltagirone and Vincent 2001) to implicitly impose the solid behavior and also the coupling between fluid and solid motion. For fixed particles, the velocity of the cell containing the centroid of the particle is imposed equal to zero. The viscous penalty method propagates the zero velocity in the whole solid medium;
物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Validation of Aslam extension
To validate these extensions, we used the same example as Aslam (2004). i.e. a $[-\pi, \pi]^{2} 2 \mathrm{D}$ domain with a particle located at the center of the domain and a function $g$ to be extrapolated given by:
$$
g(\boldsymbol{x})=\left{\begin{array}{ll}
\cos \left(\boldsymbol{x}{1}\right) \sin \left(\boldsymbol{x}{2}\right) & \text { if } \psi(\boldsymbol{x})>0 \
0 & \text { otherwise }
\end{array}\right. \text { (i.e. inside the particle) }
$$
In this example, the function $g$ is defined inside the particle, i.e. in $\Omega_{1}$. It has to be extrapolated in the band $\mathcal{B}$, as illustrated in Figure $3.5$.
This example was extended to non-spherical particles, with an ellipse and a square. Figure $3.6$ shows the contours of $g$ inside (a) a circle, (b) an ellipse and (c) a square, which will be extrapolated in $\mathcal{B}$, i.e. the delimited white zone outside the particle, using equations [3.9].
The function $g$ is extrapolated using Aslam extension, i.e. resolving equations [3.9], for four different orders:
- Constant Aslam extension $m=1$ : this consists of resolving equation $\frac{\partial g}{\partial \sigma}+H \nabla g \cdot \mathbf{n}-0$ in $\mathcal{B}$ until $g$ reaches a steady state, i.e. $\frac{\partial g}{\partial \sigma}-0$, i.e. $\frac{\partial g}{\partial \mathbf{n}}=\nabla g \cdot \mathbf{n}=0$, which means that extrapolated $g$ is constant in the Linear Aslam extension $m=2$ : this consists of extrapolating the first normal derivative $g_{2}=\frac{\partial g}{\partial \mathbf{n}}$ from $\Omega_{1}$, where it is computed from $g$ using [3.10], to the band $\mathcal{B}$ using constant Aslam extension. Then, $g$ is extrapolated from $\Omega_{1}$ to $\mathcal{B}$ by resolving equation $\frac{\partial g}{\partial \sigma}+H \nabla g \cdot \mathbf{n}=g_{2}$ until $g$ reaches a steady state. An illustration of such a function is given in Figure 3.8, where we can observe that $g$ is no more constant in the normal direction to the particle surface in $\mathcal{B}$ $\left(\nabla g \cdot \mathbf{n}=g_{2}\right)$
流体力学代写
物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Viscous penalty method
本章中用于执行粒子解析的直接数值模拟的粘性征罚方法是一种虚拟域方法,其中使用固定 的交错笛卡尔网格来离散流体和固体介质。正如 Kataoka (1986) 对流体/流体两相流和 Vincent 等人的解释。(2014) 对于粒子流, 生成的模型隐含地考虑了由解析界面分离的不同 相之间的耦合,即大于网格单元尺寸。鉴于本章中模拟的所有配置都涉及固定粒子,因此运 讱方程如下:
$$
\nabla \cdot \text { 在 }=0 \quad[3.1] r\left(\frac{\partial \text { 在 }}{\partial R^{4}}+(\text { 在 } \cdot \nabla) \text { 在 }\right)=-\nabla p+r \mathbf{G}+\nabla \cdot\left[\nVdash\left(\nabla \text { 在 }+\nabla^{\text {在 }}\right)\right]+\mathbf{F} \text { 羊 }
$$
在泇里在是速度, $p$ 是压力, $m$ 是时候, $\mathbf{G}$ 是重力矢量,并且 $r$ 和 $\nVdash$ 分别是等效流体的密度和 粘度。源项F $\nVdash$ 用于在需要时对流体施加流速。
单流体模型几平与经典的不可压缩 Navier-Stokes 方程相同,不同之处在于等效流体的同部 性质 $(r$ 和 $\nVdash)$ 取决于 $C$. 在本章中,算术平均值用于密度 $\left(r=C r_{s}+(1-C) r_{F}\right)$ 并考虑了调和平 均粘度 $\left(=\frac{}{C *} *{S} ^{}+(1-C) *{s}\right) ($ 文森特等人, 2014 年)。
满足流体和粒子中的不可压缩和固体约束需要开发特定的模型。下一节提出并详细介绍了两 种惩罚方法来解决这些限制:
- 确保固体区域中的固体行为 $C=1$ 需要在不施加速庻的情况下为刚性㳘体部分定义特 定的流变学定律,因为粒子速度在粒子运动(粒子沉降、流化床、湍流粒子相互作 用) 中并不总是先验已知的。实现了一个特定模型来处理单流体 Navier-Stokes 方 程中的固体粒子行为。它基于粘性应力张量的分解和作用于粘度的惩恩方法,该方 法倾向于在颗粒中使用较大的值 (Caltagirone 和 Vincent 2001) 以隐含地施加固 体行为以及流体和固体之间的耦合运动。对于固定粒子,包含粒子质心的单元的速 席被强制为零。粘性惩罚法在整个固体介质中传播零速度;
物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Validation of Aslam extension
为了验证这些扩展,我们使用了与 Aslam (2004) 相同的示例。即一个 $[-\pi, \pi]^{2} 2 \mathrm{D}$ 具有位于 域中心的粒子和函数的域 $g$ 外推:
$\$ \$$
$g(\backslash b o l d s y m b o l{x})=\backslash$ left {
$\cos (x 1) \sin (x 2) \quad$ if $\psi(x)>00 \quad$ otherwise
、正确的。Itext ${$ (即在粒子内部) $}$
$\$ \$$
在这个例子中,函数 $g$ 被定义在粒子内部,即在 $\Omega_{1}$. 它必须在频带中外推 $\mathcal{B}$ ,如图所示 $3.5$.
这个例子被扩展到非球形粒子,有一个椭圆和一个正方形。数字 $3.6$ 显示轮廓 $g$ 在 (a) 圆形、
(b) 椭圆和 (c) 正方形内,将外推 $\mathcal{B}$ ,即使用方程 $[3.9]$ ,在粒子外部划定的白色区域。
功能 $g$ 使用 Aslam 扩展进行外推,即求解方程 [3.9],用于四个不同的阶数:
- 持续 Aslam 扩展 $m=1$ :这包括解决方程 $\frac{\partial g}{\partial \sigma}+H \nabla g \cdot \mathbf{n}-0$ 在B直到 $g$ 达到稳 定状态,即 $\frac{\partial g}{\partial \sigma}-0 , \mid \mathrm{E} \frac{\partial g}{\partial \mathbf{n}}=\nabla g \cdot \mathbf{n}=0$ ,这意味着外推 $g$ 在线性 Aslam 扩展中 是常数 $m=2$ : 这包括外推一阶正态导数 $g_{2}=\frac{\partial g}{\partial \mathbf{n}} 从 \Omega_{1}$ ,它是从哪里计算出来的 $g$ 使用 [3.10],到乐队 $\mathcal{B}$ 使用恒定的 Aslam 扩展。然后, $g$ 推断自 $\Omega_{1}$ 至B通过求解方 程 $\frac{\partial g}{\partial \sigma}+H \nabla g \cdot \mathbf{n}=g_{2}$ 直到 $g$ 达到稳定状态。图 $3.8$ 给出了这种函数的说明,涐 们可以观察到 $g$ 在粒子表面的法线方向上不再是常数 $B\left(\nabla g \cdot \mathbf{n}=g_{2}\right)$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。