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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域，它基于一个假设，即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点，深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上，这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。

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• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Motivation for the Submanifold Estimator

We would like to estimate the values of a PDF that lives on an (unknown) $d$-dimensional Riemannian submanifold $M$ of $\mathbb{R}^{D}$, where $d<D$. Usually, $D$-dimensional KDE does not work for such a distribution. This can be intuitively understood by considering a distribution on a line in the plane: 1-dimensional KDE performed on the line (with a bandwidth $h_{m}$ satisfying the asymptotics given above) would converge to the correct density on the line, but 2-dimensional KDE, differing from the former only by a normalization factor that blows up as the bandwidth $h_{m} \rightarrow 0$ (compare (3.1) for the cases $D=2$ and $D=1$ ), diverges. This behavior is due to the fact that, similar to a “delta function” distribution on $\mathbb{R}$, the $D$-dimensional density of a distribution on a $d$-dimensional submanifold of $\mathbb{R}^{D}$ is, strictly speaking, undefined – the density is zero outside the submanifold, and in order to have proper normalization, it has to be infinite on the submanifold. More formally, the $D$ dimensional probability measure for a $d$-dimensional $\mathrm{PDF}$ supported on $M$ is not absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure on $\mathbb{R}^{D}$, and does not have a probability density function on $\mathbb{R}^{D}$. If one attempts to use $D$-dimensional KDE for data drawn from such a probability measure, the estimator will “attempt to converge” to a singular PDF; one that is infinite on $M$, zero outside.

For a distribution with support on a line in the plane, we can resort to 1-dimensional KDE to get the correct density on the line, but how could one estimate the density on an unknown, possibly curved submanifold of dimension $d<D$ ? Essentially the same approach works: even for data that lives on an unknown, curved d-dimensional submanifold of $\mathbb{R}^{D}$, it suffices to use the $d$-dimensional kernel density estimator with the Euclidean distance on $\mathbb{R}^{D}$ to get a consistent estimator of the submanifold density. Furthermore, the convergence rate of this estimator can be bounded as in (3.3), with $D$ being replaced by $d$, the intrinsic dimension of the submanifold. [20]

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Statement of the Theorem

Let $(M, \mathbf{g})$ be a d-dimensional, embedded, complete, compact Riemannian submanifold of $\mathbb{R}^{D}(d0 .^{7}$ Let $d(p, q)=d_{p}(q)$ be the length of a length-minimizing geodesic in $M$ between $p, q \in M$, and let $u(p, q)=u_{p}(q)$ be the geodesic distance between $p$ and $q$ as measured in $\mathbb{R}^{D}$ (thus, $u(p, q)$ is simply the Euclidean distance between $p$ and $q$ in $\left.\mathbb{R}^{D}\right)$. Note that $u(p, q) \leq d(p, q)$. We will denote the Riemannian volume measure on $M$ by $V$, and the volume form by $d V .^{8}$
Theorem 3.3.1 Let $f: M \rightarrow[0, \infty)$ be a probability density function defined on $M$ (so that the related probability measure is $f V)$, and $K:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$ be a continuous function that vanishes outside $[0,1)$, is differentiable with a bounded derivative in $[0,1)$, and satisfies the normalization condition, $\int_{|\mathbf{z}| \leq 1} K(|\mathbf{z}|) d^{d} \mathbf{z}=1$. Assume $f$ is differentiable to second order in a neighborhood of $p \in M$, and for a sample $q_{1}, \ldots, q_{m}$ of size $m$ drawn from the density $f$, define an estimator $\hat{f}{m}(p)$ of $f(p)$ as, $$ \hat{f}{m}(p)=\frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \frac{1}{h_{m}^{d}} K\left(\frac{u_{p}\left(q_{j}\right)}{h_{m}}\right),
$$
where $h_{m}>0$. If $h_{m}$ satisfies $\lim {m \rightarrow \infty} h{m}=0$ and $\lim {m \rightarrow \infty} m h{m}^{d}=\infty$, then, there exist non-negative numbers $m_{}, C_{b}$, and $C_{V}$ such that for all $m>m_{}$ the mean squared error of the estimator (3.4) satisfies,
$$
\operatorname{MSE}\left[\hat{f}{m}(p)\right]=\mathrm{E}\left[\left(\hat{f}{m}(p)-f(p)\right)^{2}\right]<C_{b} h_{m}^{4}+\frac{C_{V}}{m h_{m}^{d}}
$$
If $h_{m}$ is chosen to be proportional to $m^{-1 /(d+4)}$, this gives,
$$
\mathrm{E}\left[\left(f_{m}(p)-f(p)\right)^{2}\right]=O\left(\frac{1}{m^{4 /(d+4)}}\right),
$$
as $m \rightarrow \infty$.

流形学习代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Motivation for the Submanifold Estimator

我们想估计位于 (末知) 上的 PDF 的值 $d$ 维黎曼子流形 $M$ 的 $\mathbb{R}^{D}$ ， 在哪里 $d<D$. 通常， $D$ 维 KDE 不适用于这样的分布。这可以通过考虞平面中一条线上的分布来直观地理解: 在 线上执行的一维 KDE（具有带宽 $h_{m}$ 满足上面给出的渐近线) 将收敛到线上的正确密度， 但是二维 KDE，与前者的区别仅在于随着带宽袙炸的归一化因子 $h_{m} \rightarrow 0$ (比较 (3.1) 的 情况 $D=2$ 和 $D=1$ ），发散。这种行为是由于这样一个事实，类似于“三角函数“分布 $\mathbb{R}$ ， 这 $D-\mathrm{a}$ 上分布的维密度 $d$ 维子流形 $\mathbb{R}^{D}$ 严格来说，是末定义的一一在子流形之外的密度为 零，为了进行适当的归一化，它在子流形上必须是无限的。更正式地说， $D$ 维既率则度 $d$ 维 $\operatorname{PDF}$ 支持 $M$ 就 Lebesgue 测度而言不是绝对连续的 $\mathbb{R}^{D}$, 上没有概率密度函数 $\mathbb{R}^{D}$. 如果尝 试使用 $D$ 从这种概率度量中提取的数据的维 KDE，估计啲将“尝试收致”为奇异 PDF; 一个 无限的 $M$, 外为零。
对于平面上一条线上的支持分布，我们可以求助于一维 KDE 来获得线上的正确密度，但是 如何估计末知的、可能是弯曲的维度子流形上的密度 $d<D$ ? 本质上相同的方法是有效 的: 即使对于存在于末知的、弯曲的 $\mathrm{d}$ 维子流形上的数据也是如此: $\mathbb{R}^{D}$ ，使用就足够了 $d$ 具有欧几里得距离的维核密度估计器 $\mathbb{R}^{D}$ 得到子流形密度的一致估计。此外，该估计器的收 敛速度可以如 (3.3) 中的那样有界，其中 $D$ 被取代 $d$ ，子流形的内在维度。[20]

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Statement of the Theorem

让 $(M, \mathbf{g})$ 是一个 $d$ 维的、嵌入的、完整的、係致的黎蔓子流形 $\mathbb{R}^{D}\left(d 0 .^{7}\right.$ 让 $d(p, q)=d_{p}(q)$ 是长度最小的测地线的长度 $M$ 之间 $p, q \in M$ ，然后让
$u(p, q)=u_{p}(q)$ 是之间的测地线距离 $p$ 和 $q$ 如测量 $\mathbb{R}^{D}$ (因此， $u(p, q)$ 只是之间的欧几里 得距离 $p$ 和 $q$ 在 $\left.\mathbb{R}^{D}\right)$. 注意 $u(p, q) \leq d(p, q)$. 我们将在 $M$ 经过 $V$, 体积形式为 $d V .{ }^{8}$
定理 3.3.1 令 $f: M \rightarrow[0, \infty)$ 是一个概率密度函数，定义在 $M$ (因此相关的概率测度是 $f V)$ ，和 $K:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$ 是一个在外部消失的连紏函数 $[0,1)$, 可与有界导数微分 $[0,1)$ ，并且满足归一化条件， $\int_{|\mathbf{z}| \leq 1} K(|\mathbf{z}|) d^{d} \mathbf{z}=1$. 认为 $f$ 在邻域中可微分到二阶
$p \in M$ ，对于一个样本 $q_{1}, \ldots, q_{m}$ 大小的 $m$ 从密度中提取 $f$, 定义一个估计器 $f f(p)$ 的 $f(p)$ 作为，
$$
\hat{f} m(p)=\frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \frac{1}{h_{m}^{d}} K\left(\frac{u_{p}\left(q_{j}\right)}{h_{m}}\right)
$$
在哪里 $h_{m}>0$. 如果 $h_{m}$ 满足 $\lim m \rightarrow \infty h m=0$ 和 $\lim m \rightarrow \infty m h m^{d}=\infty$. 则存 在非负数 $m, C_{b}$ ，和 $C_{V}$ 这样对于所有人 $m>m$ 估计器 (3.4) 的均方误差满足，
$$
\operatorname{MSE}[\hat{f} m(p)]=\mathrm{E}\left[(\hat{f} m(p)-f(p))^{2}\right]<C_{b} h_{m}^{4}+\frac{C_{V}}{m h_{m}^{d}}
$$
$$
\mathrm{E}\left[\left(f_{m}(p)-f(p)\right)^{2}\right]=O\left(\frac{1}{m^{4 /(d+4)}}\right)
$$
作为 $m \rightarrow \infty$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。