# 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|MTH 7090

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|An arc-sine law

There are quite a few functionals of a Brownian path which follow an arc-sine distribution. Most of them are more or less connected with the zeros of $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$. Consider, for example, the largest zero of $B{s}$ in the interval $[0, t]$ :
$$\xi_{t}:=\sup \left{s \leqslant t: B_{s}=0\right} .$$
Obviously, $\xi_{t}$ is not a stopping time since $\left{\xi_{t} \leqslant r\right}, r<t$, cannot be contained in $\mathcal{F}{r}^{B}$; otherwise we could forecast on the basis of $[0, r] \ni s \mapsto B{s}$ whether $B_{s}=0$ for some future time $s \in(r, t)$ or not. Nevertheless we can determine the probability distribution of $\xi_{t}$.
6.19 Theorem. Let $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$ be a $\mathrm{BM}^{1}$ and write $\xi{t}$ for the largest zero of $B_{s}$ in the interval $[0, t]$. Then
$$\mathbb{P}\left(\xi_{t}<s\right)=\frac{2}{\pi} \arcsin \sqrt{\frac{s}{t}} \text { for all } 0 \leqslant s \leqslant t$$
Proof. Set $h(s):=\mathbb{P}\left(\xi_{t}<s\right)$. By the Markov property we get
\begin{aligned} h(s) &=\mathbb{P}\left(B_{u} \neq 0 \quad \text { for all } u \in[s, t]\right) \ &=\int \mathbb{P}^{B_{s}(\omega)}\left(B_{u-s} \neq 0 \text { for all } u \in[s, t]\right) \mathbb{P}(d \omega) \ &=\int \mathbb{P}^{b}\left(B_{u-s} \neq 0 \quad \text { for all } u \in[s, t]\right) \mathbb{P}\left(B_{s} \in d b\right) \ &=\int \mathbb{P}^{0}\left(B_{v} \neq-b \quad \text { for all } v \in[0, t-s]\right) \mathbb{P}\left(B_{s} \in d b\right) \ &=\int \mathbb{P}^{0}\left(\tau_{-b} \geqslant t-s\right) \mathbb{P}\left(B_{s} \in d b\right) \end{aligned}

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Some measurability issues

Let $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$ be a BM ${ }^{1}$. Recall from Definition $5.1$ that a filtration $\left(\mathcal{G}{t}\right){t \geqslant 0}$ is admissible if \mathcal{F}{t}^{B} \subset \mathcal{G}{t} \text { and } B{t}-B_{s} \Perp \mathcal{G}{s} \text { for all } st} \mathcal{F}{u}^{B}, \ &\mathcal{G}{t}:=\overline{\mathcal{F}}{t}^{B}:=\sigma\left(\mathcal{F}{t}^{B}, \mathcal{N}\right) \end{aligned} where $\mathcal{N}={M \subset \Omega: \exists N \in \mathcal{A}, M \subset N, \mathbb{P}(N)=0}$ is the system of all subsets of measurable $\mathbb{P}$ null sets; $\overline{\mathcal{F}}{t}^{B}$ is the completion of $\mathcal{F}{t}^{B}$. 6.20 Lemma. Let $\left(B{t}\right){t \geqslant 0}$ be a $\mathrm{BM}^{d}$. Then $\mathcal{F}{t+}^{B}$ and $\overline{\mathcal{F}}_{t}^{B}$ are admissible in the sense of Definition 5.1.

Proof. 1′ $\mathcal{F}{t+}^{B}$ is admissible: Let $0 \leqslant t \leqslant u, F \in \mathcal{F}{t+}$, and $f \in \mathcal{C}{b}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$. Since $F \in \mathcal{F}{t+\epsilon}$ for all $\epsilon>0$, we find with (5.1)
$$\mathbb{E}\left[\mathbb{1}{F} \cdot f(B(u+\epsilon)-B(t+\epsilon))\right]=\mathbb{E}\left[\mathbb{1}{F}\right] \cdot \mathbb{E}[f(B(u+\epsilon)-B(t+\epsilon))] .$$
Letting $\epsilon \rightarrow 0$ proves $5.1$ b); condition $5.1$ a) is trivially satisfied.
$2^{0} \quad \bar{F}{t}^{B}$ is admissible: Let $0 \leqslant t \leqslant u$. By the very definition of the completion we can find for every $\tilde{F} \in \mathcal{F}{t}^{B}$ some $F \in \mathcal{F}{t}^{B}$ and $N \in \mathcal{N}$ such that the symmetric difference $(\tilde{F} \backslash F) \cup(F \backslash \tilde{F})$ is in $\mathcal{N}$. Therefore, \begin{aligned} \mathbb{E}\left(\mathbb{1}{\tilde{F}} \cdot\left(B_{u}-B_{t}\right)\right)=\mathbb{E}\left(\mathbb{1}{F} \cdot\left(B{u}-B_{t}\right)\right) & \stackrel{(5.1)}{=} \mathbb{P}(F) \mathbb{E}\left(B_{u}-B_{t}\right) \ &-\mathbb{P}(\tilde{F}) \mathbb{E}\left(B_{u}-B_{t}\right) \end{aligned}
which proves $5.1 \mathrm{~b}$ ); condition $5.1 \mathrm{a}$ ) is clear.

# 随机过程统计代考

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|An arc-sine law

$6.19$ 定理。让 $\left(B_{t}\right) t \geqslant 0$ 做一个BM ${ }^{1}$ 和写 $\xi t$ 对于最大的零 $B_{s}$ 在区间 $[0, t]$. 然后
$$\mathbb{P}\left(\xi_{t}<s\right)=\frac{2}{\pi} \arcsin \sqrt{\frac{s}{t}} \text { for all } 0 \leqslant s \leqslant t$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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