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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|DETERMINING THE DEGREES OF THE IRREDUCIBLE

Since every element of order $n$ has the same number of conjugates with respect to $\mathrm{GF}(q)$, every irreducible factor of the cyclotomic polynomial $Q^{(n)}(x)$ has the same degree over $\mathrm{GF}(q)$. This degree is $m$, which is the multiplicative order of $q \bmod n$. Thus, although the explicit factors of $Q^{(n)}(x)$ may be determined only by polynomial manipulations using Euclid’s algorithm, the degrees of these irreducible factors may be computed by appropriate manipulations with integers.

The most straightforward approach for determining the order of $q \bmod n$ is to compute the successive residues, $q, q^{2}, q^{3}, \ldots, \bmod n$, until one finds the least $m$ such that $q^{m} \equiv 1 \bmod n$. However, if $n$ is large, this procedure becomes tedious. Fortunately, the calculations may be considerably shortened by the use of several simple number theoretic results which we now present.

Theorem 6.51 If $n=\prod_{i} n_{i}{ }{i}, n{i}$ distinct primes, then the order of $q \bmod n$ is the least common multiple of the orders of $q \bmod n_{i}^{j_{i}}$.

EXAMPLE Suppose $n=45, q=2$. Since the order of $2 \bmod 5$ is 4 and the order of $2 \bmod 9$ is 6 , the order of $2 \bmod 45$ is 12 .

Proof of Theorem 6.51 $q^{m} \equiv 1 \bmod n$ iff $q^{m} \equiv 1 \bmod n_{i}^{j^{3}}$ for every i. $\quad q^{m} \equiv 1 \bmod n_{i}^{j_{i}}$ iff $m$ is a multiple of the order of $q \bmod n_{i}^{j_{i}}$.

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Although it appears unlikely that any general method for factoring polynomials over finite fields can improve substantially on the algorithm presented in Sec. 6.1, other methods sometimes enable one to obtain certain information about the factors with even less effort. For example, every high-school algebra student knows that the roots of the real quadratic equation $a x^{2}+b x+c=0$ are $x=\left(-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}\right) / 2 a$. If $q$ is a power of an odd prime which does not divide $a$, then this formula remains valid over $\operatorname{GF}(q)$. Thus, the question of whether or not a quadratic equation over $\mathrm{GF}(q)$ has two roots in $\mathrm{GF}(q)$ depends on whether or not its discriminant, $D=b^{2}-4 a c$, is a perfect square in $\mathrm{GF}(q)$. In particular, we see that the original quadratic equation has an even number (two) of irreducible factors over $G F(q)$ if its discriminant is a square, but it has an odd number (one) of irreducible factors over $\mathrm{GF}(q)$ if its discriminant is a nonsquare. This is the simplest example of a general result called Stickelberger’s theorem. In order to state the general result, we must define the discriminant of a polynomial of arbitrary degree.

Stickelberger’s theorem $\mathbf{6 . 6 8}$ (odd characteristic) Let $q$ be a power of an odd prime, let $f(x)$ be a monic polynomial of degree $m$ over GF $(q)$, with discriminant $D(f) \neq 0$. Let $r$ be the number of irreducible factors of $f(x)$ over $\mathrm{GF}(q)$. Then $r \equiv m \bmod 2$ iff $D(f)$ is a square in $\mathrm{GF}(q)$

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Given an integer $a$ and a prime $p$, the Legendre symbol $(a / p)$ is defined by Definition 6.71.
Definition $6.71$
$$
(a / p)= \begin{cases}1 & \text { if } x^{2}=a \text { has nonzero solutions in } \mathrm{GF}(p) \ -1 & \text { if } x^{2}=a \text { does not have solutions in } \mathrm{GF}(p) \ 0 & \text { if } p \text { divides } a\end{cases}
$$
The Legendre symbol arises in applications of Stickelberger’s theorem, in the determination of the multiplicative order of $a \bmod p$, in the determination of the degrees of the irreducible factors of $Q^{(a)}(x)$ over $\mathrm{GF}(p)$, in the study of quadratic-residue codes, which will be defined in Sec. $15.2$, and in many other places in number theory. If the equation $x^{2}=a$ has nonzero solutions in $\mathrm{GF}(p), a$ is said to be a quadratic residue $\bmod p$; if the equation $x^{2}=a$ has no solution in $\mathrm{GF}(p), a$ is said to be a quadratic nonresidue.

If $a$ is a quadratic nonresidue, then $x^{2}-a$ is irreducible over $\mathrm{GF}(p)$, and $\sqrt{a} \in \mathrm{GF}\left(p^{2}\right)$; if $a$ is a quadratic residue, then $x^{2}-a$ factors over $\mathrm{GF}(p)$, and $\sqrt{a} \in \mathrm{GF}(p)$. In either case, $\sqrt{a} \in \mathrm{GF}\left(p^{2}\right)$. The element $\sqrt{a}$ is in the subfield $\mathrm{GF}(p)$ iff $\sqrt{a^{p}}=\sqrt{a}$. Since $\left(a^{(p-1) / 2}\right)^{2}=1$ and the only two roots of the equation $x^{2}-1=0$ are $x=\pm 1, a^{(p-1) / 2}=$ $\pm 1 \bmod p$. Therefore,
$$
(a / p) \equiv a^{(p-1) / 2} \bmod p
$$ This congruence is called Euler’s criterion. Lemmas $6.721$ to $6.723$ follow immediately,

编码理论代考

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由于秩序的每一个元溸 $n$ 具有相同数量的共轭相对于GF $(q)$, 分圆多项式的每个不可约因式 $Q^{(n)}(x)$ 具有相同的度数 $\mathrm{GF}(q)$. 这个学位是 $m$ ，这是乘法顺序 $q \bmod n$. 因此，尽管显性 因嗉 $Q^{(n)}(x)$ 可以仅通过使用欧几里得算法的多项式操作来确定，这些不可约因子的度数可 以通过适当的整数操作来计算。
最直接的确定顺序的方法 $q \bmod n$ 是计算连续的残差， $q, q^{2}, q^{3}, \ldots, \bmod n$, 直到找到最 少的 $m$ 这样 $q^{m} \equiv 1 \bmod n$. 然而，如果 $n$ 很大，这个过程就变得今味了。辛运的是，使用 我们现在提出的几个简单的数论结果可以大大缩短计算时间。
定理 $6.51$ 如果 $\$ n=\backslash$ prod_{i} $n_{-}{i}{}{i}, n{i}$ distinctprimes, thentheorderofq $\backslash$ bmod nistheleastcommonmultipleoftheordersofq $\backslash$ bmod $\mathrm{n}{-}{\mathrm{i}} \wedge\left{\mathrm{j}{-}{\mathrm{i}}\right} \$_{\text {。 }}$
示例假设 $n=45, q=2$. 由于顺序 $2 \bmod 5$ 是 4 和顺序 $2 \bmod 9$ 是 6 ，的顺序 $2 \bmod 45$ 是 12 。
定理 $6.51$ 的证明 $q^{m} \equiv 1 \bmod n$ 当且当 $q^{m} \equiv 1 \bmod n_{i}^{j^{3}}$ 对于每个 $\mathrm{i}{\text {。 }}$ 。 $q^{m} \equiv 1 \bmod n{i}^{j_{i}}$ 当且当 $m$ 是顺序的倍数 $q \bmod n_{i}^{j_{i}}$.

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层管在有限域上对多项式进行因式分解的任何通用方法似乎都不太可能在第 2 节中提出的算 法上显着改进。 $6.1$ ，其他方法有时可以使人更轻松地获得有关因挈的某些信自。例如，每个 㐫中代数学生都知道实数二次方程的根 $a x^{2}+b x+c=0$ 是
$x=\left(-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}\right) / 2 a$. 如果 $q$ 是不除的奇榡数的草 $a$,那么这个公式在 $\mathrm{GF}(q)$. 因 此，一个二次方程是否超过 $\mathrm{GF}(q)$ 有两个根源 $\mathrm{GF}(q)$ 取决于它的判别式是否，
$D=b^{2}-4 a c$ ，是一个完美的正方形 $\mathrm{GF}(q)$. 特别是，我们看到原始二次方程有偶数（两 个) 不可约因子 $G F(q)$ 如果它的判别式是一个正方形，但它有奇数个 (一个) 不可约因数 $\mathrm{GF}(q)$ 如果它的判别式是非正方形的。这是称为斯蒂克尔伯格定理的一般结果的最简单示 例。为了说明一般结果，我们必须定义任意次数多项式的判别式。
斯蒂克伯格定理 $6.68$ (奇怪的特征) 让 $q$ 是奇拜数的昌，令 $f(x)$ 是一次多项式 $m$ 过 $\mathrm{GF}(q)$, 有判别式 $D(f) \neq 0$. 让 $r$ 是不可约因数的个数 $f(x)$ 超过 $\mathrm{GF}(q)$. 然后 $r \equiv m \bmod 2$ 当且当 $D(f)$ 是一个正方形 $\mathrm{GF}(q)$

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给定一个整数 $a$ 和一个素数 $p$, 勒让德符号 $(a / p)$ 由定义 $6.71$ 定义。
定义 $6.71$
$(a / p)=\left{1 \quad\right.$ if $x^{2}=a$ has nonzero solutions in $\mathrm{GF}(p)-1 \quad$ if $x^{2}=a$ does not have solutions in $\mathrm{GF}(p) 0$
Legendre 符号出现在 Stickelberger 定理的应用中，用于确定 $a \bmod p$, 在确定不可约因子
的程度时 $Q^{(a)}(x)$ 超过 $\mathrm{GF}(p)$ ，在二次残差码的研究中，将在第 2 节中定义。 $15.2$ ，以及
在数论中的许多其他地方。如果方程 $x^{2}=a$ 有非零解 $\mathrm{GF}(p), a$ 据说是二次余数 $\bmod p$; 如
果方程 $x^{2}=a$ 没有解决方案 $\mathrm{GF}(p), a$ 称其为二次非残差。
如果 $a$ 是二次非残差，则 $x^{2}-a$ 是不可约的 $\mathrm{GF}(p)$ ，和 $\sqrt{a} \in \mathrm{GF}\left(p^{2}\right)$; 如果 $a$ 是二次余
数，则 $x^{2}-a$ 因羏超过 $\mathrm{GF}(p)$ ，和 $\sqrt{a} \in \mathrm{GF}(p)$. 在任一情况下， $\sqrt{a} \in \mathrm{GF}\left(p^{2}\right)$. 元綁
$\sqrt{a}$ 在子字段中 $\mathrm{GF}(p)$ 当且当 $\sqrt{a^{p}}=\sqrt{a}$. 自从 $\left(a^{(p-1) / 2}\right)^{2}=1$ 和方程仅有的两个根
$x^{2}-1=0$ 是 $x=\pm 1, a^{(p-1) / 2}=\pm 1 \bmod p$. 所以，
$$
(a / p) \equiv a^{(p-1) / 2} \bmod p
$$
这种同余称为欧拉准则。引理 $6.721$ 至 $6.723$ 立即跟进

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。