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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|THE KEY EQUATION FOR DECODING BINARY BCH CODES
If the encoder transmits the binary $\mathrm{BCH}$ codeword
$$
C(x)=\sum_{i=0}^{n-1} C_{i} x^{i}
$$
and the channel noise causes additive errors given by the coefficients of the binary polynomial
$$
E(x)=\sum_{i=0}^{n-1} E_{i} x^{i}
$$
then the received word will be given by
$$
R(x)=\sum_{i=0}^{n-1} R_{i} x^{i}=\sum_{i=0}^{n-1} C_{i} x^{i}+\sum_{i=0}^{n-1} E_{i} x^{i}
$$
For $j=1,2, \ldots, 2 t$, the codeword is a multiple of the minimal polynomial of $\alpha^{j}$, and therefore
$$
R\left(\alpha^{j}\right)=0+\sum_{i=0}^{n-1} E_{i} \alpha^{j i}=\sum_{k=1}^{e} X_{k}^{j}=S_{j}
$$
where we let the Galois field error locations $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{e}$ denote the positions where $E_{i}=1$. If $R(x)$ is divided by $M^{(j)}(x)$, the minimal polynomial of $\alpha^{j}(1 \leq j \leq 2 t)$, then $S_{j}=R\left(\alpha^{j}\right)$ may be readily computed from the remainder, $r^{(j)}\left(\alpha^{j}\right)$, as in Sec. 5.2. After the decoder has calculated $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \ldots, S_{2 t}$, the major problem is to find the error locations, $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{e}$, from the equations
$$
\sum_{i=1}^{e} X_{i}^{j}=S_{j} \quad j=1,2,3, \ldots, 2 t
$$
In general, these equations will have many solutions, each corresponding to a different error pattern in the same coset of the additive group of codewords. The decoder must find a solution with as small a value of $e$ as possible.
In order to solve these equations, the decoder first attempts to find the coefficients of the error-locator polynomial, defined by Definition $7.21$ [or Eq. (1.46)].
数学代写|编码理论代写Coding theory代考|HEURISTIC SOLUTION OF THE KEY EQUATION
We wish to solve the key equation
$$
(1+S) \sigma \equiv \omega \bmod z^{2 t+1}
$$
for the polynomials $\sigma(z)$ and $\omega(z)$, given $S(z) \bmod z^{2 t+1}$. The problem looks difficult, so we break it up into smaller pieces. We consider the sequence of equations
$$
(1+S) \sigma^{(k)} \equiv \omega^{(k)} \bmod z^{k+1}
$$
For each $k=0,1,2, \ldots, 2 t$, we shall find polynomials
$$
\sigma^{(k)}=\sum_{i} \sigma_{i}^{(k)} z^{i}
$$
and
$$
\omega^{(k)}=\sum_{i} \omega_{i}^{(k)} z^{i}
$$
which solve this equation. In general, these equations may have many solutions. Since the degree of $\sigma$ is the number of errors, a good decoder must attempt to find a solution in which degree $\sigma$ and degree $\omega$ are “small.”
If we have a solution to $(7.301)$, then we can hope that this same pair of polynomials, $\sigma^{(k)}$ and $\omega^{(k)}$, might also solve the equation
$$
(1+S) \sigma^{(k)} \stackrel{?}{\equiv} \omega^{(k)} \bmod z^{k+2}
$$
In general, we cannot expect to be so lucky. However, we may write
$$
(1+S) \sigma^{(k)} \equiv \omega^{(k)}+\Delta_{1}^{(k)} z^{k+1} \bmod z^{k+2}
$$
数学代写|编码理论代写Coding theory代考|SIMPLIFICATIONS IN ALGORITHM 7.4 FOR BINARY BCH CODES
Given any sequence $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \ldots, S_{2 t}$, Algorithm $7.4$ will find lowdegree polynomials $\sigma(z)$ and $\omega(z)$ which solve the key equation (7.23). In the case of binary $\mathrm{BCH}$ codes, however, the sequence $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \ldots$, $S_{2 t}$ is not arbitrary. The $S^{\prime}$ s must be power-sum symmetric functions of $e$ error locations, $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{e}$. Even if $e>t$, we have $S_{k}=$ $\sum_{i=1}^{e} X_{i}^{k}, S_{2 k}=\sum_{i=1}^{e} X_{i}{ }^{2 k}=\left(\sum_{i=1}^{e} X_{i}^{k}\right)^{2}=S_{k}{ }^{2}$. Thus, the $S^{\prime}$ s are related to each other by the equations $S_{2 k}=S_{k}{ }^{2}$. The generating function $S(z)$ must therefore satisfy the equation $[S(z)]^{2}=\sum_{k=1}^{\infty} S_{2 k} z^{2 k}=\widehat{S}(z)$, where I again use the accent ${ }^{\wedge}$ to denote the even part and the accent $\sim$ to denote the odd part, as in Sec. 3.2. The generating-function equation $\dot{S}=S^{2}$ leads to a considerable simplification of the iterative algorithm, as we shall now show.
Lemma 7.61 Let $1+S$ and $1+R$ be reciprocal generating functions in a field of characteristic $2:(1+S)(1+R)=1 .$ Then $\hat{R}=0$ iff $\hat{S}=S^{2}$
Proof Separating $(1+S)(1+R)=1$ into even and odd parts gives $(1+\hat{S})(1+\hat{R})+\widehat{S} \tilde{R}=1$ and $\widehat{S}(1+\hat{R})+(1+\hat{S}) \widetilde{R}=0$. Subtracting $\overleftrightarrow{S}$ times the latter from $1+\widehat{S}$ times the former gives $\left(1+\hat{S})^{2}-\widehat{S}^{2}\right=1+\hat{S}$, from which
$$
\tilde{R}=\frac{1+\hat{S}}{(1+\hat{S})^{2}-\bar{S}^{2}}-1
$$
In a field of characteristic $2,(1+\hat{S})^{2}-\widehat{S}^{2}=1+\widehat{S}^{2}+\widehat{S}^{2}=1+$ $(\hat{S}+\bar{S})^{2}=1+S^{2}$ and $\hat{R}=0$ iff $1+\hat{S}=1+S^{2}$ or $\hat{S}=S^{2}$
Q.E.D.
编码理论代考
数学代写|编码理论代写Coding theory代考|THE KEY EQUATION FOR DECODING BINARY BCH CODES
如果编码器传输二进制 $\mathrm{BCH}$ 码字
$$
C(x)=\sum_{i=0}^{n-1} C_{i} x^{i}
$$
并且信道噪声导致由二进制多项式的系数给出的附加误差
$$
E(x)=\sum_{i=0}^{n-1} E_{i} x^{i}
$$
那么接收到的单词将由
$$
R(x)=\sum_{i=0}^{n-1} R_{i} x^{i}=\sum_{i=0}^{n-1} C_{i} x^{i}+\sum_{i=0}^{n-1} E_{i} x^{i}
$$
为了 $j=1,2, \ldots, 2 t$ ，码字是最小多项式的倍数 $\alpha^{j}$ ，因此
$$
R\left(\alpha^{j}\right)=0+\sum_{i=0}^{n-1} E_{i} \alpha^{j i}=\sum_{k=1}^{e} X_{k}^{j}=S_{j}
$$
我们让伽罗瓦场错误位置 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{e}$ 表示位置 $E_{i}=1$. 如果 $R(x)$ 被除以 $M^{(j)}(x)$, 的 最小多项式 $\alpha^{j}(1 \leq j \leq 2 t)$ ，然后 $S_{j}=R\left(\alpha^{j}\right)$ 可以很容易地从余数中计算出来， $r^{(j)}\left(\alpha^{j}\right)$ ，如秒。 5.2. 解码器计算后 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \ldots, S_{2 t}$ ，主要问题是找到错误位置， $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{e}$,从方程
$$
\sum_{i=1}^{e} X_{i}^{j}=S_{j} \quad j=1,2,3, \ldots, 2 t
$$
通常，这些等式将有许多解，每个解对应于加法码字组的同一陪集中的不同错误模式。解码 器必须找到一个值层可能小的解 $e$ 尽可能。
为了求解这些方程，解码器首先尝试找到由定义定义的错误定位多项式的系数 $7.21$ [或方程 式。 (1.46)]。
数学代写|编码理论代写Coding theory代考|HEURISTIC SOLUTION OF THE KEY EQUATION
我们莃望解决关键方程
$$
(1+S) \sigma \equiv \omega \bmod z^{2 t+1}
$$
对于多项式 $\sigma(z)$ 和 $\omega(z)$, 给定 $S(z) \bmod z^{2 t+1}$. 这个问题看起来很困难，所以我们把它分 解成更小的部分。我们考虑方程序列
$$
(1+S) \sigma^{(k)} \equiv \omega^{(k)} \bmod z^{k+1}
$$
对于每个 $k=0,1,2, \ldots, 2 t$ ，我们将找到多项式
$$
\sigma^{(k)}=\sum_{i} \sigma_{i}^{(k)} z^{i}
$$
和
$$
\omega^{(k)}=\sum_{i} \omega_{i}^{(k)} z^{i}
$$
解决这个方程。一般来说，这些方程可能有很多解。由于程度 $\sigma$ 是错误的数量，一个好的解 码器必须尝试找到解决方空的程度 $\sigma$ 和学位 $\omega$ 是“小”。
如果我们有解决方茎 $(7.301)$ ，那么我们可以希望这一对多项式， $\sigma^{(k)}$ 和 $\omega^{(k)}$ ，也可以解方程
$$
(1+S) \sigma^{(k)} \stackrel{?}{\equiv} \omega^{(k)} \bmod z^{k+2}
$$
总的来说，我们不能指望如此幸运。然而，我们可以写
$$
(1+S) \sigma^{(k)} \equiv \omega^{(k)}+\Delta_{1}^{(k)} z^{k+1} \bmod z^{k+2}
$$
数学代写|编码理论代写Coding theory代考|SIMPLIFICATIONS IN ALGORITHM 7.4 FOR BINARY BCH CODES
给定任何序列 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \ldots, S_{2 t}$ ，算法7.4会找到低次多项式 $\sigma(z)$ 和 $\omega(z)$ 求解关键方程 (7.23) 。在二进制的情况下BCH代码，但是，序列 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \ldots, S_{2 t}$ 不是任意的。这 $S^{\prime}$ s 必须是晿和对称函数 $e$ 错误位置， $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{e}$. 即使 $e>t$ ，我们有 $S_{k}=$ $\sum_{i=1}^{e} X_{i}^{k}, S_{2 k}=\sum_{i=1}^{e} X_{i}^{2 k}=\left(\sum_{i=1}^{e} X_{i}^{k}\right)^{2}=S_{k}^{2}$. 就䢒样 $S^{\prime}$ s 通过等式相互关联 $S_{2 k}=S_{k}^{2}$. 生成函数 $S(z)$ 因此必须满足方程 $[S(z)]^{2}=\sum_{k=1}^{\infty} S_{2 k} z^{2 k}=\widehat{S}(z)$, 我再次 使用重音^表示偶数部分和重音 $\sim$ 表示奇数部分，如 Sec。 3.2. 生成函数方程 $\dot{S}=S^{2}$ 正如我 们现在将展示的那样，导致迭代算法的相当大的简化。
引理 $7.61$ 让 $1+S$ 和 $1+R$ 是特征域中的倒数生成函数 $2:(1+S)(1+R)=1$. 然后 $\hat{R}=0$ 当且当 $\hat{S}=S^{2}$
证明分离 $(1+S)(1+R)=1$ 分成偶数和奇数部分 $(1+\hat{S})(1+\hat{R})+\widehat{S} \tilde{R}=1$ 和 $\widehat{S}(1+\hat{R})+(1+\hat{S}) \widetilde{R}=0$. 减法 $\overleftrightarrow{S}$ 后者从 $1+\widehat{S}$ 前者的倍数为 $\$$ Sleft $(1+1 \text { hat }(S))^{N}{2}$ $\mathrm{~ I w i d e h a t { S } N { 2 } 《 r i g h t = 1 +}$
Ina fieldo fcharacteristic $2,(1+\backslash \mathrm{hat}{\mathrm{S}})^{\wedge}{2}-$
Iwidehat ${S}^{\wedge}{2}=1+\backslash$ widehat ${S}^{\wedge}{2}+\backslash$ widehat ${S}^{\wedge}{2}=1+(\backslash \text { hat }{S}+\backslash \operatorname{bar}{S})^{\wedge}{2}=1+S^{\wedge}{2}$ and $\backslash$ 帽子 ${R}=0$ if $f 1+\backslash$ hat ${S}=1+S^{\wedge}{2} o r \backslash$ hat ${S}=S^{\wedge}{2} \$$
QED
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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