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离散数学是研究可以被认为是 “离散”（类似于离散变量，与自然数集有偏射）而不是 “连续”（类似于连续函数）的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下，离散数学不包括 “连续数学 “中的课题，如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举；更正式地说，离散数学被定性为处理可数集的数学分支（有限集或与自然数具有相同心数的集）。然而，”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Cyclic Groups

These examples suggest that a periodical structure, which we observed in this particular case, should exist in general when we deal with the comparison of the integers. This periodicity is explored in more detail now. It is clear that an order of any element in a finite group cannot be bigger than the order of the group itself. Group elements having this largest possible order $\operatorname{ord}(G)=|G|$ are called primitive elements or generators of the group. Thus, as we saw above, the group $\mathbb{Z}{7}^{}$ has two generators 3 and 5 . since both these elements have the largest possible order $6=7-1$. We also see that the powers of both these elements, 3 and 5 , – of course, modulo 7 , are $3,2,6,4,5,1$ and $5,4,6,2,3,1$, that is, each sequence is the entire group $\mathbb{Z}{7}^{}$; the elements with the maximal order are called generators of a group, and these groups are called cyclic groups.

Problem 132. Are $\mathbb{Z}{11}^{}$ and $\mathbb{Z}{13}^{}$ cyclic groups? Compute the orders of elements of these groups and find, if any, their generators.

Problem 133. The additive group of all the integers is an infinite cyclic group.
We omit a proof of the next statement, important in cryptography.
Theorem 10. (1) If d is prime, then $\mathbb{Z}_{d}^{*}$ with a congruence as a group operation, is a commutative cyclic group.
(2) If $|G|$ is prime, then all elements $a \in G, a \neq 1$, are primitive.
The next property says that all cyclic groups of a given order are, in a sense, the same.
(3) All the finite cyclic groups of the given order n are isomorphic to each other. All infinite cyclic groups are isomorphic to one another.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|THE DISCRETE LOGARITHM PROBLEM

While developing the Affine Ciphers, we had to find the inverse elements of some group elements. It is ensy if we work with renl numbers, since $x^{-1}$ exists for every real $x \neq 0$. However, in cryptography $x$ is supposed to be integer, and its reciprocal must be also integer; hence the problem of finding the reciprocal may have no solution. Moreover, the exponent does not have to be – 1. Again, solving an equation $a^{x}=b$, when $a>0$ and $b$ is a real number, straightforwardly leads to logarithms. Therefore, we have to extend that notion to a discrete setting.

Consider the finite cyclic group $\mathbb{Z}{p}^{}$ with prime $p$, its order is $p-1$, and let $g \in \mathbb{Z}{p}^{}$ be a generator of this group. Let also another element be $h \in \mathbb{Z}_{p}^{*}$. The Discrete Logarithm Problem (DLP) requires finding the integer $x, 1 \leq x \leq p-1$, such that $g^{x}=h(\bmod p)$. We denote the solution of this congruence, if it exists, as $x=\log h(\bmod p)$.

For example, computations in Example 11 tell that $5^{\circ 4}(\bmod 7)=2$, therefore, we set $g=5, h=2$, and get $x=\log _{5} 2(\bmod 7)=2$, which has nothing in common with $\ln 2 / \ln 5 \approx 0.43$. We can straightforwardly check that $5^{* 4}=625$ and $625=7 \times 89+2$.

This example shows why DLP is used in cryptography. We deal with a one-way function – see Def. 68 (p. 167). Given the value of the discrete logarithm, the verification is straightforward and fast. But the computations for finding this value currently, for really large parameters, are infeasible. For more about the DLP, the reader can consult, for example, [40] and the references therein.

离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考| Cyclic Groups

这些例子表明，当我们处理整数的比较时，我们在这种特殊情况下观窅到的周期性结构通 常应该存在。现在将更详细地探讨这种周期性。很明显，有限群中任何元表的阶都不能大 于群本身的阶。具有此最大可能阶数的组元素ord $(G)=|G|$ 称为组的基元元繢或生成 器。因此，正如我们上面所看到的，该组 $\mathbb{Z} 7$ 有两个发电机 3 和 5 。因为这两个元素都具 有最大可能的阶数 $6=7-1$.我们还看到，这两个元表的幕， 3 和 5 ，当然，模 7 是 $3,2,6,4,5,1$ 和 $5,4,6,2,3,1$ ，即每个序列都是整个组 $\mathbb{Z} 7$;具有最大阶的元素称为群的 生成器，这些群称为循坏群。
问题 132.是 $\mathbb{Z} 11$ 和 $\mathbb{Z} 13$ 循坏群? 计算这些组的元溸的顺序，并找到它们的生成器（如果 有) 。
问题 133.所有整数的加法群都是一个无限暏环群。
我们省略了下一个语句的证明，这在密码学中很重要。
定理 10. (1) 如果 $\mathrm{d}$ 是挈数，则 $\mathbb{Z}_{d}^{*}$ 以同余作为群运算，是一个交换循环群。
（2）如果 $|G|$ 是栍数，则所有元溸 $a \in G, a \neq 1$ ，是原始的。
下一个属性龶示，从某种意义上说，给定顺序的所有循坏群都是相同的。
（3）给定阶 $n$ 的所有有限旿环群彼此同构。所有无限楿环群彼此同构。

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考| THE DISCRETE LOGARITHM PROBLEM

在开发仿射密码时，我们必须找到一些群元素的反元溸。如果我们使用 renl 数字，这是 很麻烦的，因为 $x^{-1}$ 存在为毎一个真实 $x \neq 0$. 但是，在密码学中 $x$ 应该是整数，其倒数也, 必须是整数:因此，找到互惠的问题可能没有解决方惌。此外，指数不必是 -1。同样，求 解一个方程 $a^{x}=b$ 什时候 $a>0$ 和 $b$ 是一个实数，直接导致对数。因此，我们必须将这 一概念扩展到离散设置。
考虑有限循坏群 $\mathbb{Z} p$ 与嫊数 $p$ ，其顺序为 $p-1$ ，并让 $g \in \mathbb{Z} p$ 成为这个群体的创造者。让 $g^{x}=h(\bmod p)$.我们表示这种同余的解，如果它存在，作为 $x=\log h(\bmod p)$.
例如，示例 11 中的计算表明 $5^{\circ 4}(\bmod 7)=2$ ，因此，我们设置 $g=5, h=2$ ，然后 获取 $x=\log _{5} 2(\bmod 7)=2$ ，这与没有任何共同之处 $\ln 2 / \ln 5 \approx 0.43$. 或们可以直 接检宜 $5^{* 4}=625$ 和 $625=7 \times 89+2$.
此示例说明了在加密中使用 DLP 的原因。我们处理单向函数 – 见 Def. 68 (p. 167) 。给 定岳散对数的值，验证简单快捷。但是，对于非常大的参数，目前用于茺找此值的计算是 不可行的。有关DLP的更茤信自，读者可以育阅例如[40]及其中的参考文献。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。