## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Find 2022

2022年7月25日

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## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Variation of a space-time functional: some practical aspects

Consider $I\left(x, t, u, u_{x}, u_{t}\right)$ in which space $x$ and time $t$ are independent variables and $u, u_{x}$, and $u_{t}$ are dependent variables. For fixed $x$ and $t, I(\cdot)$ depends upon $u, u_{x}$, and $u_{t}$. Let $v$ be arbitrary change in $u$, i.e. let $v=\delta u$ (variation of $u$ ). The variational symbol $\delta$ is a differential operator. The following properties regarding $v=\delta u$ hold.
(a) $v$ or $\delta u$ represents an admissible change in $u$ for fixed position coordinates $x$ and time $t$.
(b) If $u$ is specified at some points in the domain (usually the boundary of the domain) then $v=\delta u=0$ at such points because the specified values of $u$ are fixed, hence can not be changed or varied. Thus, if $u=u_{0}$ on some boundary $\Gamma$, then $v=\delta u_{0}=0$ on $\Gamma$, i.e. $v=\delta u$ satisfies the homogeneous parts of the boundary conditions on $u$ which is $u=0$. In other words, $v=\delta u$ vanishes on $\Gamma$ where $u$ is specified and is arbitrary everywhere else. So $v=\delta u$ can be thought of as virtual change in $u$. Hence, the methods or techniques based on this approach are also referred to as the methods based on principle of virtual work.
(c) As shown earlier, the variational operator $\delta$ acts as a differential operator with respect to dependent variables.
(d) Thus, the laws of variations of sums, products, ratios, and powers of space-time functionals are completely analogous to the corresponding laws of differentiation. If $I$ and $G$ are two space-time functionals then
(i) $\delta(I \pm G)=\delta I \pm \delta G$
(ii) $\delta(I G)=(\delta I) G+I(\delta G)$
(iii) $\delta\left(\frac{I}{G}\right)=\frac{G \delta I-I \delta G}{G^{2}} ; \quad \forall G \neq 0$
(iv) $\delta\left(I^{n}\right)=n I^{n-1} \delta I$
(v) Variational and differential operators can commute, i.e. change positions; and the same is true for variational and integral operators. This is obviously due to the fact that variation is differentiation with respect to dependent variables for fixed position coordinates and time whereas the integral or the differential operators contain operations with respect to position coordinates $x$ and time $t$.

## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Riemann and Lebesgue integrals

In finite element processes we encounter definite integrals over the discretized domains of definition of the differential operators. These integrals must be expressed as the sum of the integrals over the subdomains (finite elements). In doing so, the continuity of the integrand (or lack of it) over the whole domain (discretization) is crucial in understanding what these integrals mean and or represent.
Consider a simple definite integral in one spatial dimension.
$$I=\int_{a}^{b} f(x) d x$$
In the strict sense of calculus of continuous and differentiable functions, the integral in (2.6) is valid if and only if $f(x)$ is continuous for all $x \in[a, b]$. When this is the case, the above integral is called Riemann.

Consider $f(x)$ versus $x$ shown in Fig. 2.2. The figure shows two different behaviors of $f(x)$ versus $x$. In both cases, $f(x)$ is continuous, hence (2.6) is a Riemann integral in both cases. In this case we can write (2.6) as,
$$I=\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x$$
All integrals in (2.7) are Riemann and (2.7) holds precisely in the strict sense of calculus of continuous and differentiable functions.

Consider $f(x)$ versus $x$ shown in Fig. 2.3; $f(x)$ is continuous for any $x \in[a, c)$ and $x \in(c, b]$. However, at $x=c, f(x)$ is discontinuous, that is, $f(x)$ changes from $f_{l}$ to $f_{u}$ at $x=c$; that is, there is a jump in $f(x)$ at $x=c$. In this case the integral in (2.6) is not valid in the Riemann sense and we cannot express (2.6) as a sum of integrals over the subintervals $[a, c]$ and $[c, b]$. We note that change in $f(x)$ from $f_{l}$ to $f_{u}$ is at a point which is a set of measure zero. Thus, if we decide to ignore the integral of $f(x)$ over a set of measure zero then we can write (2.7) in this case also.

# 有限元方法代考

## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Variation of a space-time functional: some practical aspects

(一个) $v$ 或者 $\delta u$ 代表一个可接受的变化 $u$ 对于固定位置坐标 $x$ 和时间 $t$.
(b) 如果 $u$ 在域中的某些点 (通常是域的边界) 指定然后 $v=\delta u=0$ 在这样的点，因为指 定的值 $u$ 是固定的，因此不能改变或改变。因此，如果 $u=u_{0}$ 在某个边界上 $\Gamma$ ，然后 $v=\delta u_{0}=0$ 上 $\Gamma ， \mathrm{IE} v=\delta u$ 满足边界条件的齐次部分 $u$ 这是 $u=0$. 换句话说， $v=\delta u$ 消失在 $\Gamma$ 在哪里 $u$ 是指定的，并且在其他任何地方都是任意的。所以 $v=\delta u$ 可以被认为是 虚拟的变化u. 因此，基于这种方法的方法或技术也称为基于虚拟工作原理的方法。
(c) 如前所述，变分算子 $\delta$ 作为因变量的微分算子。
(d) 因此，时空泛函的和、积、比和幕的变分定律完全类似于相应的微分定律。如果 $I$ 和 $G$

(i) $\delta(I \pm G)=\delta I \pm \delta G$ (二) $\delta(I G)=(\delta I) G+I(\delta G)$ (引) $\delta\left(\frac{I}{G}\right)=\frac{G \delta I-I \delta G}{G^{2}} ; \quad \forall G \neq 0$ (四) $\delta\left(I^{n}\right)=n I^{n-1} \delta I$
(v) 变分和微分算子可以通勤，即改变位置; 对于变分和积分运算符也是如此。这显然是因 为变化是关于固定位置坐标和时间的因变量的微分，而积分或微分算子包含关于位置坐标 的操作 $x$ 和时间 $t$.

## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Riemann and Lebesgue integrals

$$I=\int_{a}^{b} f(x) d x$$

$$I=\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x$$
（2.7）中的所有积分都是黎曼积分，并且 (2.7) 在连续和可微函数微积分的严格意义上精 确成立。

(2.6) 表示为子区间上的积分之和 $[a, c]$ 和 $[c, b]$. 我们注意到变化 $f(x)$ 从 $f_{l}$ 至 $f_{u}$ 是在一个 点是一组则量零。因此，如果我们决定刕略 $f(x)$ 在一组测量零上，那么我们也可以在这种 情况下写 (2.7) 。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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