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数论是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Prime Factorization

Fermat’s Little Theorem $2.17$ can be used to show that a given number $q>1$ is composite without knowing any non-trivial divisor. If we find some $a$ coprime to $q$ such that congruence (2.35) does not hold, then $q$ is not a prime number. For example, if we show that $q$ does not divide $2^{q-1}-1$ for $q$ odd, then $q$ is composite.

It should be emphasized that the factorization of a given number $n$ to prime factors is much more difficult than finding whether $n$ is a prime or composite number. According to Gauss, finding the prime number factorization of a given number is a very important and fundamental role of arithmetic [118, Article 329].

The oldest method to factor the number $n$ into prime factors gradually tries to divide $n$ by all primes not exceeding $\sqrt{n}$. For instance, to show that 283 is a prime it is enough to verify that it is not divisible by $2,3,5,7,11$, and 13 . However, it must be emphasized that this method is not very effective. Suppose, for instance, we are able to perform one billion divisions per second. Then a factorization of $n=p q$, where $p$ and $q$ are unknown thirty digits primes, would take more time than the age of the universe $\left(\approx 13.7 \cdot 10^{9}\right.$ years).

To explore this assertion further, let us denote by $\pi(x)$ the number of primes not exceeding $x$ (see Fig. 2.7). Note that Carl Friedrich Gauss when he was a teenager conjectured that the probability that $n$ is a prime number is $1 / \log n$. By $[138,350]$ the value of $\pi(x)$ is approximately equal to $\frac{x}{\log x}$, where the error is less than $15 \%$ for every $x \geq 3000$. In 1896 Jacques Hadamard (1865-1963) and independently also Charles-Jean de la Vallée Poussin (1866-1962) even proved this asymptotic equality for $x \rightarrow \infty$,
$$
\left.\pi(x) \approx \frac{x}{\log x} \quad \text { (Prime Number Theorem }\right)
$$ Since the integer part of $\sqrt{n}$ has 30 digits, there exist at least $10^{29} /(29 \log 10)$ $\approx 1.5 \cdot 10^{27}$ prime numbers less than $\sqrt{n}$. Because each year has about $3.2 \cdot 10^{7} \mathrm{~s}$, we will perform $3.2 \cdot 10^{16}$ divisions during this time period. But to test all primes not exceeding $\sqrt{n}$, we would need at least $47 \cdot 10^{9}$ years to factor $n$ which is more than three times the age of the universe. Mathematicians compare such an algorithm to an effort to smash an atom by a hammer. By having any additional information about the number to be factored or about its prime factors, the factorization can be done much more efficiently (see e.g. Theorems $4.5$ and 4.17).

数学代写|数论作业代写number theory代考|Criteria for Primality

Let $j, m, n$ be positive integers. We say that $m^{j}$ exactly divides $n$ and write $m^{j} | n$, if $m^{j} \mid n$, but $m^{j+1} \nmid n$. For $j=0$ the symbol $m^{0} | n$ means that $m \nmid n$.

Theorem $3.1$ A positive integer $n$ is a prime if and only if $n \mid\left(\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right)$ for all $k \in$ ${1, \ldots, n-1}$

Proof $\Rightarrow:$ For $k \in{1, \ldots, n-1}$ the number $n-k$ is also between 1 and $n-1$.
Since $n$ is prime, $n \nmid k !$ and $n \nmid(n-k)$ !. Hence, we have
$$
n \mid\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !},
$$
since $n \mid n !$
$\Leftarrow$ : Conversely, let $n$ be composite and let $p$ be the smallest prime which divides
$n$. Hence, $1<p<n$ and
$$
\left(\begin{array}{l}
n \
p
\end{array}\right)=\frac{n(n-1) \cdots(n-p+1)}{p(p-1) \cdots 2 \cdot 1} .
$$
Assume that $p^{j} | n$ for some positive integer $j$. Between $p$ successive numbers $n, n-1, \ldots, n-p+1$ there exists exactly one divisible by $p$. Since $p \mid n$, we obtain
$$
p \nmid(n-1)(n-2) \cdots(n-p+1) .
$$
Therefore, $p^{j} | n(n=1) \cdots(n=p \neq 1)$ and clearly $p | p(p=1) \cdots 2,1$. Thus by (3.1) we get $p^{j-1} |\left(\begin{array}{l}n \ p\end{array}\right)$. However, $n \nmid\left(\begin{array}{l}n \ p\end{array}\right)$, since $p^{j} | n$.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Prime Factorization

费马小定理 $2.17$ 可用于显示给定的数字 $q>1$ 在不知道任何非平凡除数的情况下是复合 的。如果我们找到一些 $a$ 互质于 $q$ 使得同余 (2.35) 不成立，则 $q$ 不是龶数。例如，如果我们 证明 $q$ 不分 $2^{q-1}-1$ 为了 $q$ 奇怪，那么 $q$ 是复合的。
应该强调的是给定数的因式分解 $n$ 质因数比找出是否 $n$ 是㸹数或合数。根据高斯的说法，找 到给定数的龶数因式分解是算术的一个非常重要和其本的作用[118，第 329 条]。
最古老的计算数字的方法 $n$ 成拜数逐渐试图划分 $n$ 由所有质数不超过 $\sqrt{n}$. 例如，要证明 283 是表数，只需验证它不能被 $2,3,5,7,11$, 和 13 . 但是，必须强调的是，这种方法不是很有 效。例如，假设我们能够每秒执行 10 亿次分割。然后因式分解 $n=p q$ ，在哪里 $p$ 和 $q$ 是末 知的 30 位数駣数，比宇宙的年齡还要长 $\left(\approx 13.7 \cdot 10^{9}\right.$ 年 $)$ 。
为了进一步探讨这个断言，让我们用 $\pi(x)$ 质数不超过 $x$ (见图 2.7) 。请注意，卡尔.弗里 德里希·高斯 (Carl Friedrich Gauss) 在他十几岁的时候就倠测， $n$ 是一个素数是 $1 / \log n$. 经过 $[138,350]$ 的价值 $\pi(x)$ 大约等于 $\frac{x}{\log x}$, 误差小于 $15 \%$ 对于每个 $x \geq 3000.1896$ 年 Jacques Hadamard (1865-1963) 和独立的 Charles-Jean de la Vallée Poussin (18661962 ) 甚至证明了这个渐近等式 $x \rightarrow \infty$,
$$
\pi(x) \approx \frac{x}{\log x} \quad \text { (Prime Number Theorem) }
$$
由于整数部分 $\sqrt{n}$ 有 30 位，至少存在 $10^{29} /(29 \log 10) \approx 1.5 \cdot 10^{27}$ 小于的素数 $\sqrt{n}$. 因 为每年大约有 $3.2 \cdot 10^{7} \mathrm{~s}$ ，我们将执行 $3.2 \cdot 10^{16}$ 在此期间的分裂。但是要测试所有不超过 的龶数 $\sqrt{n}$ ，我们至少需要 $47 \cdot 10^{9}$ 年因綘 $n$ 这是宇宙年齡的三倍多。数学家将这种算法比 作用锤子喕碎原子的努力。通过获得有关要因式分解的数字或其主要因数的任何附加信 息，可以更有效地进行因式分解 (例如，参见定理 $4.5$ 和 4.17)。

数学代写|数论作业代写number theory代考|Criteria for Primality

让 $j, m, n$ 为正整数。我们说 $m^{j}$ 正好划分 $n$ 和写 $m^{j} \mid n$ ，如果 $m^{j} \mid n$ ，但 $m^{j+1} \nmid n$. 为了 $j=0$ 符号 $m^{0} \mid n$ 意思是 $m \nmid n$.
定理3.1一个正整数 $n$ 是责数当且仅当 $n \mid(n k)$ 对所有人 $k \in 1, \ldots, n-1$
证明 $\Rightarrow$ :为了 $k \in 1, \ldots, n-1$ 号码 $n-k$ 也在 1 和 $n-1$.
自从 $n$ 是䭿数， $n \nmid k !$ 和 $n \nmid(n-k) ! .$ 因此，我们有
$$
n \mid(n k)=\frac{n !}{k !(n-k) !},
$$
自从 $n \mid n !$
$n$. 因此， $1<p<n$ 和
$$
(n p)=\frac{n(n-1) \cdots(n-p+1)}{p(p-1) \cdots 2 \cdot 1}
$$
假使，假设 $p^{j} \mid n$ 对于一些正整数 $j$ 之间 $p$ 连续数字 $n, n-1, \ldots, n-p+1$ 恰好存在一 个可被 $p$. 自从 $p \mid n$ ，我们获得
$$
p \nmid(n-1)(n-2) \cdots(n-p+1) .
$$
所以, $p^{j} \mid n(n=1) \cdots(n=p \neq 1)$ 并且清楚地 $p \mid p(p=1) \cdots 2,1$. 因此由 (3.1) 我 们得到 $p^{j-1} \mid(n p)$. 然而， $n \nmid(n p)$ ，自从 $p^{j} \mid n$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。