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数论是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Wilson’s Theorem

John Wilson (1741-1793) was an outstanding British mathematician at the University of Cambridge. However, the following theorem that bears his name was not discovered by him.

Theorem 3.6 (Wilson) A number $p>1$ is prime if and only if
$$
(p-1) ! \equiv-1 \quad(\bmod p) .
$$
In 1770 Edward Waring first published in Meditationes algebraicae on p. 288 the implication $\Rightarrow$ without any proof and attributed it to John Wilson. He literally wrote that if $p$ is a prime number, then the sum of $(p-1) !+1$ is divisible by $p$. At that time, the concept of congruences had not been introduced yet. According to Hardy and Wright $[138$, p. 81$]$ the implication $\Rightarrow$ was already known to Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) in somewhat modified form. The converse implication $\Leftarrow$ was later proved by Joseph-Louis Lagrange in 1773. Therefore, sometimes Theorem $3.6$ is called the Wilson-Lagrange Theorem.

Let us further note that the assumption of $p>1$ is omitted in many textbooks. For $p=1$ the congruence (3.5) is satisfied, but 1 is by definition not a prime number.
Proof of Theorem 3.6. $\Rightarrow$ : If $p=2$, then congruence (3.5) obviously holds. So let $p>2$ be a prime and let $a$ be an arbitrary positive integer less than $p$. By Theorem $3.4$ there exists exactly one positive integer $b<p$ such that $a b \equiv 1(\bmod p)$. From Theorem $3.5$ we get that if $a b \equiv 1$ (mod $p$ ) and $h \equiv a$ (mod $p$ ), then either $a \equiv 1$ $(\bmod p)$, or $a=p-1(\bmod p)$. From this it follows that the integers $2,3, \ldots, p-$ 2 can be reordered as the progression $a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{p-2}$ so that in pairs we have
$$
a_{i} a_{i+1} \equiv 1 \quad(\bmod p)
$$
for $i=2,4,6, \ldots, p-3$. Between 2 and $p-2$ there are exactly $p-3$ numbers, which is an even number. Therefore,
$$
(p-1) ! \equiv 1 \cdot(p-1) a_{2} \cdots a_{p-2} \equiv(p-1) 1^{(p-3) / 2} \equiv-1 \quad(\bmod p)
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Dirichlet’s Theorem

In 1837 Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) published an interesting theorem that uses very sophisticated analytical methods in number theory.

Theorem 3.10 (Dirichlet) Let $a, d \in \mathbb{N}$ be coprime integers. Then there exist infinitely many primes in the arithmetic progression
$$
a, a+d, a+2 d, a+3 d, \ldots
$$
A proof of this statement is in the seminal paper by Peter Gustav Lejeune Dirichlet [94]. Theorem $3.10$ can be equivalently formulated so that the set
$$
S={p \in \mathbb{P} ; p \equiv a(\bmod d)}
$$
has infinitely many elements. Moreover, the density of $S$ in the set of primes $\mathbb{P}$ is equal to $1 / \phi(d)$, where $\phi$ is the Euler totient function, i.e.,
$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\mid{p \in \mathbb{P} ; p \equiv a \quad(\bmod d) \text { and } p \leq x} \mid}{|{p \in \mathbb{P} ; p \leq x}|}=\frac{1}{\phi(d)} .
$$
A proof of this statement can be found e.g. in Ireland and Rosen [151, pp. 251261]. However, one of the most beautiful and at the same time most surprising mathematical results from the beginning of the 21 st century is the Green-Tao theorem published in Annals of Mathematics, see Ben Green and Terence Tao [126].

Theorem 3.11 (Green-Tao) For any positive integer $k$ there exists an arithmetic progression of length $k$ consisting solely of primes.

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Wilson’s Theorem

约翰威尔逊 (John Wilson，1741-1793) 是剑桥大学杰出的英国数学家。然而，以下以他 的名字命名的定理并没有被他发现。
定理 $3.6$ (Wilson) $\mathrm{A}$ 数 $p>1$ 是表数当且仅当
$$
(p-1) ! \equiv-1 \quad(\bmod p) .
$$
1770 年，Edward Waring 首次在 Meditationes algebraicae 上发表。288的寓意 $\Rightarrow$ 没有 任何证据并将其归因于约翰威尔逊。他从字面上写道，如果 $p$ 是一个㸹数，那么和
$(p-1) !+1$ 可以被 $p$. 当时，还没有引入同余的概念。根据哈代和赖特 $[138$ ，页。81]含 义 $\Rightarrow$ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) 已经知道它的形式有所修改。反义词后来 由约瑟夫-路易斯拉格朗日在 1773 年证明。因此，有时定理3.6称为威尔逊-拉格朗日定 理。
让㧴们进一步注意，假设 $p>1$ 许多教科书都省略了。为了 $p=1$ 同余 $(3.5)$ 得到满足，但 1 根据定义不是拜数。
定理 $3.6$ 的证明。 $\Rightarrow$ : 如果 $p=2$, 那么同余 (3.5) 显然成立。所以让 $p>2$ 是一个青数， 让 $a$ 是小于的任意正整数 $p$. 按定理 $3.4$ 只存在一个正整数 $b<p$ 这样 $a b \equiv 1(\bmod p)$. 从定 理3.5我们明白了，如果 $a b \equiv 1$ (反对 $p$ ) 和 $h \equiv a($ (反对 $p$ )，然后要么 $a \equiv 1(\bmod p)$ ，或者 $a=p-1(\bmod p)$. 由此得出整数 $2,3, \ldots, p-2$ 可以重新排序为进程 $a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{p-2}$ 所以成对我们有
$$
a_{i} a_{i+1} \equiv 1 \quad(\bmod p)
$$
为了 $i=2,4,6, \ldots, p-3$. 介于 2 和 $p-2$ 确实有 $p-3$ 数，是偶数。所以，
$$
(p-1) ! \equiv 1 \cdot(p-1) a_{2} \cdots a_{p-2} \equiv(p-1) 1^{(p-3) / 2} \equiv-1 \quad(\bmod p)
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Dirichlet’s Theorem

1837 年，Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) 发表了一个有趣的定理，该定理在 数论中使用了非常巹杂的分析方法。
定理 $3.10$ (Dirichlet) 让 $a, d \in \mathbb{N}$ 是互质整数。那么等差数列中存在无穷客个龶数
$$
a, a+d, a+2 d, a+3 d, \ldots
$$
这一说法的证明在 Peter Gustav Lejeune Dirichlet [94] 的开创性论文中。定理3.10可以 等价地表示，使得集合
$$
S=p \in \mathbb{P} ; p \equiv a(\bmod d)
$$
有无限多的元素。此外，密度 $S$ 在絩数集合中 $\mathbb{P}$ 等于 $1 / \phi(d)$ ，在哪里 $\phi$ 是欧拉函数，即
$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\mid p \in \mathbb{P} ; p \equiv a \quad(\bmod d) \text { and } p \leq x \mid}{|p \in \mathbb{P} ; p \leq x|}=\frac{1}{\phi(d)} .
$$
可以在爰尔兰和罗森 [151，pp. 251261] 中找到该陈述的证明。然而，21世纪初最美丽同 时也是最令人惊讶的数学结果之一是发表在数学年鉴上的 Green-Tao 定理，参见 Ben Green 和 Terence Tao [126]。
定理 $3.11$ (Green-Tao) 对于任何正整数 $k$ 存在一个长度的算术级数 $k$ 仅由质数组成。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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