如果你也在 怎样代写数论number theory M328K 55385 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论number theory数论的主要目标是发现不同种类的数字之间的有趣和意外的关系，并证明这些关系
是真实的。在本节中，我们将描述几个典型的数论问题。其中有些问题我们最终会解决，有些问题的已知解法对我们来说太难了，所以要包括在内。困难的问题，以及一些至今仍未解决的问题。
数论number theory是纯数学的一个分支，专门研究自然数和整数。它是对正整数集合的研究，通常称为自然数集合。
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数学代写|数论代写number theory代考|Basic congruences
If $m, b$, and $c$ are integers for which $m$ divides $b-c$, then we write
$$
b \equiv c \quad(\bmod m)
$$
and say that $b$ and $c$ are congruent modulo $m$, where $m$ is the modulus 1 The numbers involved should be integers, not fractions, and the modulus can be taken in absolute value; that is, $b \equiv c(\bmod m)$ if and only if $b \equiv c(\bmod |m|)$, by definition.
For example, $-10 \equiv 15(\bmod 5)$, and $-7 \equiv 15(\bmod 11)$, but $-7 \not \equiv 15$ $(\bmod 3)$. Note that $b \equiv b(\bmod m)$ for all integers $m$ and $b$.
数学代写|数论代写number theory代考|The trouble with division
Although the rules for addition, subtraction, and multiplication work for congruences as they do for the integers, reals, and most other mathematical objects we have encountered, the rule for division is more subtle. In the complex numbers, if we are given numbers $a$ and $b \neq 0$, then there exists a unique value of $c$ for which $a=b c$ (so that $c=a / b$ ), and therefore there is no ambiguity in the definition of division. We now look at the multiplication tables mod 5 and mod 6 to see whether this same property holds for modular arithmetic:
数学代写|数论代写number theory代考|Congruences for polynomials
Let $\mathbb{Z}[x]$ denote the set of polynomials with integer coefficients. Using the above rules for congruences, one gets a very useful result for congruences involving polynomials:
Corollary 2.3.1. If $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ and $a \equiv b(\bmod m)$, then $f(a) \equiv f(b)(\bmod m)$.
Proof. Since $a \equiv b(\bmod m)$ we have $a^{2} \equiv b^{2}(\bmod m)$ by Lemma 2.1.1, and then
Exercise 2.3.1. Prove that $a^{k} \equiv b^{k}(\bmod m)$ for all integers $k \geq 1$, by induction.
Now, writing $f(x)=\sum_{i=0}^{d} f_{i} x^{i}$ where each $f_{i}$ is an integer, we have
$$
f(a)=\sum_{i=0}^{d} f_{i} a^{i} \equiv \sum_{i=0}^{d} f_{i} b^{i}=f(b) \quad(\bmod m),
$$
by Lemma $2.1 .1$
This result can be extended to polynomials in many variables.
Exercise 2.3.2. Deduce, from Corollary [2.3.1 that if $f(t) \in \mathbb{Z}[t]$ and $r, s \in \mathbb{Z}$, then $r-s$ divides $f(r)-f(s)$
Therefore, for any polynomial $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$, the sequence $f(0), f(1), f(2), \ldots$ modulo $m$ is periodic of period $m$; that is, the values repeat every $m$ th term in the sequence, repeating indefinitely. More precisely $f(n+m) \equiv f(n)(\bmod m)$ for all integers $n$.
数学代写|数论代写number theory代考|Basic congruences
如果 $m, b ，$ 和 $c$ 是整数 $m$ 划分 $b-c$ ，然后䧕们写
$$
b \equiv c \quad(\bmod m)
$$
然后兑 $b$ 和 $c$ 与模型一敩 $m$ ，在哪里 $m$ 是模数 1 所涉及的数应该是整数，而下是分数，模数可以取绝对值；那是， $b \equiv c(\bmod m)$ 当且仅当 $b \equiv c(\bmod |m|)$ ，根据定义。
例如， $-10 \equiv 15(\bmod 5)$ ，和 $-7 \equiv 15(\bmod 11)$ ， 但 $-7 \not 15(\bmod 3)$. 注意 $b \equiv b(\bmod m)$ 对于所有整数 $m$ 和 b.
数学代写|数论代写number theory代考|The trouble with division
层管加法、煘法和乘法的规则适用于同余，就像它们适用于整数、实数和我们遇到的大多数其他数学对象一样，但除法的规则 更加微妙。在曶数中，如果给定数字 $a$ 和 $b \neq 0$ ，则存在唯一值 $c$ 为此 $a=b c($ 以便 $c=a / b)$ ，因此除法的是义没有歧义。我 们现在看一下乘法表 $\bmod 5$ 和 $\bmod 6$ ，看看这个相同的属性是否适用于模运算:
数学代写|数论代写number theory代考|Congruences for polynomials
让 $\mathbb{Z}[x]$ 表示具有整数系数的冬项式集合。使用上面的同余规则，对于涉及多项式的同余，我们得到了一个非常有用的结果:
推论 2.3.1。如果 $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ 和 $a \equiv b(\bmod m)$ ，然后 $f(a) \equiv f(b)(\bmod m)$.
证明。自从 $a \equiv b(\bmod m)$ 我们有 $a^{2} \equiv b^{2}(\bmod m)$ 由引理 2.1.1，然后是
练习 2.3.1。证明 $a^{k} \equiv b^{k}(\bmod m)$ 对于所有整数 $k \geq 1$ ，通过归纳。
现在，写 $f(x)=\sum_{i=0}^{d} f_{i} x^{i}$ 其中每个 $f_{i}$ 是一个整数，我们有
$$
f(a)=\sum_{i=0}^{d} f_{i} a^{i} \equiv \sum_{i=0}^{d} f_{i} b^{i}=f(b) \quad(\bmod m),
$$
通过引理 $2.1 .1$
这个结果可以扩展到许多变量的多项式。
练习 2.3.2。推论，从推论 $[2.3 .1$ ，如果 $f(t) \in \mathbb{Z}[t]$ 和 $r, s \in \mathbb{Z}$ ，然后 $r-s$ 划分 $f(r)-f(s)$
因此，对于任何多项式 $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ ，序列 $f(0), f(1), f(2), \ldots$.模块 $m$ 是周期的周期 $m$; 也就是说，值重复每个 $m$ 序列中的 第一项，无限重昆。更确切地说 $f(n+m) \equiv f(n)(\bmod m)$ 对于所有整数 $n$.
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