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数学分析学是数学的一个分支，涉及连续函数、极限和相关理论，如微分、积分、度量、无限序列、数列和分析函数。

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Analysis and Illustration of the Model Dynamics

In [1] we assumed $g$ in the form of Hill function with Hill coefficient equal to 2 , that is $g(\zeta)=\frac{\zeta^{2}}{1+\zeta^{2}}$. Moreover, without additional input we considered the model being fully symmetric, meaning that all coefficients are the same with reference values $\alpha_{i}=3, a_{i}=0.4, b_{1}=1, c=1$. The main aim of the analysis presented in [1] was to check if the model is able to correctly predict to which neuronal population an additional input was applied.

Looking at the model dynamics for the basic symmetric case it is easy to see that the phase space portrait is symmetric, as exchanging the variables $x_{1} \leftrightarrow x_{2}$ does not change the model. Moreover, the straight line $x_{2}=x_{1}$ is a specific trajectory on which the following equation is satisfied:
$$
\dot{\zeta}=\alpha\left(a-\zeta+\zeta g\left(\zeta^{2}\right)\right)=3\left(0.4-\frac{\zeta}{1+\zeta^{2}}\right) .
$$
Due to the properties of the function $\frac{\zeta}{1+\zeta^{2}}$ (which is unimodal with one maximum equal to $0.5$ at $\zeta=1$ we see that there are two steady states of Eq. (6), $0<\zeta_{1}<1<$ $\zeta_{2}$ and $\zeta_{1}$ is stable while $\zeta_{2}$ is unstable. Within the straight line $x_{2}=x_{1}$ all solutions with initial value below $\zeta_{2}$ tends to $\zeta_{1}$, while those above $\zeta_{2}$ tends to $\infty$ as $t \rightarrow \infty$. These corresponds to the dynamics in the whole phase space where $\left(\zeta_{1}, \zeta_{1}\right)$ is a stable node while $\left(\zeta_{2}, \zeta_{2}\right)$ is a saddle. The stable curve of a saddle divides the phase space into two regions: below this curve solutions are attracted by the first steady state, while above this curve solutions tend to $\infty$. It should be noticed that we are interested in the model dynamics for the values of variables near the first steady state, as large values are not biologically plausible. Hence, in Fig. 7 we present only a part of the phase space corresponding to such values.

In Fig. 7a we see our reference symmetric case with all solutions attracted by the steady state with coordinates near $0.4$. Giving additional input to the first variable results in moving this state to the right (cf. Fig. 7b), while when the additional input is given to the second variable, then the steady state moves up. This shows that the system correctly recognizes to which population this additional input is applied.
In [1] we presented an extended analysis of System (5) also for parameter values different than reference values, especially focusing on the role of parameters $a$ and $c$ (denoted by $I$ and $\epsilon$ in the original paper) for the number of steady states. It occurs that there can be from one to three steady states, similarly to other models considered in this chapter. The stability of these states is also similar to the cases studied above in previous sections.

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Universal Generating Function

UGF is a form of ordinary moment generating function which represents the probability mass function of discrete random variables. Let a discrete random variable $X$ has $M$ possible values $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{M}\right)$ and $\left(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{M}\right)$ be the corresponding probabilities. Then UGF of discrete random variable $X=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{M}\right)$ is répreesenentêd by a poolynônial
$$
U(z)=\sum_{j=1}^{M} p_{j} z^{\left(X=x_{j}\right)}, j=1,2,3, \ldots, M
$$
Consider a system having $X_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ components and every component has $v\left(v=1,2, \ldots, M_{j}\right)$ possible state denoted by $x_{j v}$. Let probability distribution of each variable $x_{j v}$ (jth variable at $v$ th state) is represented by $p_{j v}$. Then the UGF of random variable $X_{j}$ is defined as
$$
u_{X j}(z)=\sum_{v=1}^{M_{j}} p_{j v} z^{x_{j v}}
$$
Combination of $m$ universal generating functions of $m$ variables is defined by composition operator $\otimes_{f}$, where the properties of the composition operator $\otimes_{f}$ totally depend on properties of the function $f\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m}\right)$. Therefore, the composition is given by
$$
\begin{aligned}
U(z) &=\otimes_{f}\left(u_{X_{1}}(z), u_{X_{2}}(z), \ldots, u_{X_{m}}(z)\right) \
&=\otimes_{f}\left(\sum_{v_{1}=1}^{M_{1}} \sum_{v_{2}=1}^{M_{2}} \sum_{v_{3}=1}^{M_{3}} \cdots \sum_{v_{m}=1}^{M_{m}}\left(\prod_{i=1}^{m} p_{i v_{i}} z^{f\left(x_{i_{1}}, \ldots, x_{i_{m}}\right)}\right)\right.
\end{aligned}
$$

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Analysis and Illustration of the Model Dynamics

在[1]中我们假设 $g$ 形式为希尔函数，宥尔系数等于 2 ，即 $g(\zeta)=\frac{\zeta^{2}}{1+\zeta^{2}}$. 此外，在没有额 外输入的情况下，我们认为模型是完全对称的，这意味着所有系数都与参考值相同 $\alpha_{i}=3, a_{i}=0.4, b_{1}=1, c=1$. [1] 中提出的分析的主要目的是检育模型是否能哆正 确预测向哪个神经元群体应用了额外的输入。
亘看基本对称情况的模型动力学，很容易看出相空间图是对称的，因为交换变量 $x_{1} \leftrightarrow x_{2}$ 不改变模型。此外，直线 $x_{2}=x_{1}$ 是满足以下等式的特定轨迹:
$$
\dot{\zeta}=\alpha\left(a-\zeta+\zeta g\left(\zeta^{2}\right)\right)=3\left(0.4-\frac{\zeta}{1+\zeta^{2}}\right) \text {. }
$$
由于函数的性质 $\frac{\zeta}{1+\zeta^{2}}$ (这是单峰的，一个最大值等于 $0.5$ 在 $\zeta=1$ 我们看到方程有两个稳 态。 $(6), 0<\zeta_{1}<1<\zeta_{2}$ 和 $\zeta_{1}$ 是稳定的，而 $\zeta_{2}$ 不稳定。直线内 $x_{2}=x_{1}$ 所有具有以下初 始值的解决方崇 $\zeta_{2}$ 倾向于 $\zeta_{1}$, 而上面的那些 $\zeta_{2}$ 倾向于 $\infty$ 作为 $t \rightarrow \infty$. 这些对应于整个相空 间中的动力学，其中 $\left(\zeta_{1}, \zeta_{1}\right)$ 是一个稳定的节点，而 $\left(\zeta_{2}, \zeta_{2}\right)$ 是马鞍。鞍的稳定曲线将相空 间分为两个区域: 在该曲线下方的解被第一个稳态吸引，而在该曲线上方的解倾向于 $\infty$. 应该注意的是，我们对接近第一个稳态的变量值的模型动力学㒺兴趣, 因为大值在生物学 上是不合理的。因此，在图 7 中，我们只给出了与这些值相对应的相空间的一部分。
在图 7a 中，我们看到了我们的参考对称情况，所有解都被稳态吸引，坐标接近 $0.4$. 向第 一个变量提供额外的输入会导致该状态向右移动（参见图 7b)，而当向第二个变量提供额 外的输入时，稳态会向上移动。这表明系統正确识别了该附加输入应用于哪个人群。
在 [1] 中，我们还对不同于参考值的参数值进行了系统 (5) 的扩展分析，特别关注参数的作 用 $a$ 和 $c$ (表示为 $I$ 和 $\epsilon$ 在原始论文中) 用于稳定状态的数量。与本章考虑的其他模型类似， 可能存在一到三个稳态。这些状态的稳定性也类似于前面部分中研究的情况。

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Universal Generating Function

UGF 是普通矩生成函数的一种形式，它表示离散随机变量的概率质量函数。设一个离散随
机变量 $X$ 有 $M$ 可能的值 $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{M}\right)$ 和 $\left(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{M}\right)$ 是对应的概率。然后是离
散随机变量的 $U G F X=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{M}\right)$ 由 poolynônial 代表
$$
U(z)=\sum_{j=1}^{M} p_{j} z^{\left(X=x_{j}\right)}, j=1,2,3, \ldots, M
$$
考虞一个具有 $X_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ 组件和每个组件都有 $v\left(v=1,2, \ldots, M_{j}\right)$ 可能的状
态表示为 $x_{j v}$. 让每个变量的概率分布 $x_{j v}$ (第 $\mathrm{j}$ 个变量在 $v$ th 状态) 表示为 $p_{j v}$. 那么随机变 量的UGF $X_{j}$ 定义为
$$
u_{X j}(z)=\sum_{v=1}^{M_{j}} p_{j v} z^{x_{j v}}
$$
的组合 $m$ 的通用生成函数 $m$ 变量由组合运算符定义 $\otimes_{f}$ ，其中合成算子的性质 $\otimes_{f}$ 完全取决 于函数的属性 $f\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m}\right)$. 因此，组成由下式给出
$$
U(z)=\otimes_{f}\left(u_{X_{1}}(z), u_{X_{2}}(z), \ldots, u_{X_{m}}(z)\right) \quad=\otimes_{f}\left(\sum_{v_{1}=1}^{M_{1}} \sum_{v_{2}=1}^{M_{2}} \sum_{v_{3}=1}^{M_{3}} \cdots \sum_{v_{m}=1}^{M_{m}}\left(\prod_{i=1}^{m} p_{i v_{i}} z^{f\left(x_{i_{1}}, \ldots, x_{i m}\right.}\right)\right)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。