# 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|CIVL2060

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Interpolation from the Linear

In this section, we study interpolation from another perspective. As we have already seen, each of the interpolation functions is examined in its own vector space, each of which has at least one basis. If we consider the nature of the interpolation problem, we can say that an interpolation function is obtained by quantifying and forming a system of linear equations. Quantifying means calculating the value of the function at different points $x_{i}$ and obtaining different values of $f_{i} \in \mathbb{R}$, so this quantifying operation can be considered as a linear functional such as $L$ so that for the interpolation function $p$,
$$L_{i}(p)=p\left(x_{i}\right)=f_{i,} \quad i=0,1, \ldots, m$$
So according to these explanations, the interpolation problem requires another space, such as functional space or dual space. Obviously, this space also has a dual basis, that is, a basis consisting of the linear functionals $L_{i}$. For further explanation, we present the following theorems without proof.

These methods are generally of two types.

1. Closed methods
2. Open methods
Briefly, it can be said that closed methods are methods that use the initial and final points of the integration interval in the quadrature rule, and open methods are methods where at least one of the initial or final points is not used. First, we examine closed methods.

One of the defining factors of these methods is the number of integration points that they use, for example, two points, three points, and so on. It will be proved that the application of eight-point and above methods is not cost-effective and the propagation of computational and rounding error is occurred. Each of the above methods is based on the choice of interpolating polynomials that are used instead of $f$, because in the quadrature rule $(I(f))$, interpolating polynomials are used instead of the function $f$. For two reasons, one is that we may not have the rule of the function $f$ and we may only have information about it, and the other is that it is much easier to integrate polynomials rather than other functions. Now if we use a linear interpolator, the method is a two-point method, and if one of the points is not used (open Newton-Cotes), the method is a one-point method. If we use a parabola as an interpolator, the method is a three-point method and so on. Obviously, by using the interpolator instead of the function $f$ and integrating it as an approximation, $I(f))$ will have an error, because the interpolator has an error. That is, if $p_{n}(x)$ is the interpolator of $f(x)$ on the interval $[a, b]$ with an error of $R_{n}(x)$, we have:
$$f(x)=p(x)+R_{n}(x)$$

# 数值分析代考

## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Interpolation from the Linear

$$L_{i}(p)=p\left(x_{i}\right)=f_{i,} \quad i=0,1, \ldots, m$$

1. 封闭式方法
2. 开放式方法
简单地说，封闭式方法是使用求积法则中积分区间的起始点和終止点的方法，开放 式方法是不使用起始点或終止点中的至少一个的方法。首先，我们检查封闭方法。
这些方法的定义因责之一是它们使用的积分点的数量，例如，两个点、三个点等。将证明 应用八点及以上方法不具有成本效益，并且会发生计算和舍入误差的传播。上述每种方法 都棊于所使用的揷值多项式的选择，而不是 $f$, 因为在求积法则 $(I(f))$, 使用掐值多项式代 芙函数 $f$. 有两个原因，一个是我们可能没有函数的规则 $f$ 而且我们可能只有关于它的信息， 另一个是它更容易隹成多项式而不是其他函数。现在如果我们使用线性揷值器，该方法是 两点法，如果没有使用其中一个点 (打开 Newton-Cotes)，该方法是单点法。如果我们使 用抛物线作为揷值器，则该方法是三点法等等。显然，通过使用揷值器而不是函数 $f$ 并将其 整合为近似值, $I(f))$ 会有错误，因为掐值器有错误。也就是说，如果 $p_{n}(x)$ 是的揷值器 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 有一个错误 $R_{n}(x)$ ，我们有:
$$f(x)=p(x)+R_{n}(x)$$

## 有限元方法代写

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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