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抽象代数是代数的一组高级课题，涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Defining Groups from a Presentation

A group defined by a presentation is similar to a free group in that it is first understood through its symbols, rather than the symbols representing some function, matrix, or number. In a group defined by a presentation, the elements are simply reduced words in the generators but the relations impose additional simplifications beyond just the power rules that hold in any group.
Example 1.10.6. To illustrate similarities and differences in various sets of relations, consider the following three groups.
$$
\begin{aligned}
&G_{1}=\left\langle x, y \mid x^{3}=y^{7}=1, x y=y x\right\rangle \
&G_{2}=\left\langle a, b \mid a^{3}=b^{7}=1, a b=b^{2} a\right\rangle \
&G_{3}=\left\langle u, v \mid u^{3}=v^{7}=1, u v=v^{2} u^{2}\right\rangle
\end{aligned}
$$
In $G_{1}$, since $x y=y x$, in any word in the generators $x$ and $y$, all the $x$ symbols can be moved to the left. Thus, all elements in $G_{1}$ can be written as $x^{k} y^{\ell}$. Furthermore, since $x^{3}=y^{7}=1$, then $x^{i} y^{j}$ with $0 \leq i \leq 2$ and $0 \leq j \leq 6$ give all the elements of $G_{1}$. We claim that all 21 of these elements are distinct. To prove this, we must show that $x^{i} y^{j}$ are distinct for $0 \leq i \leq 2$ and $0 \leq j \leq 6$. If $x^{k} y^{\ell}=x^{m} y^{n}$, we have
$$
x^{k} y^{\ell}=x^{m} y^{n} \Longleftrightarrow x^{k-m}=y^{n-\ell}
$$
By Corollary $1.3 .7$, since $x^{3}=1$, the order of $x^{k-m}$ divides 3 and, since $y^{7}=1$, the order of $y^{n-\ell}$ divides 7 . Since $x^{k-m}=y^{n-\ell}$, then the order of this element must divide $\operatorname{gcd}(3,7)=1$. Hence, $x^{k-m}=y^{n-\ell}=1$. Thus, 3 divides $k-m$and 7 divides $n-\ell$, but if we assume that $0 \leq k, m \leq 2$ and $0 \leq \ell, n \leq 6$, then we conclude that $k=m$ and $n=\ell$. This proves the claim. Hence, $G_{1}$ is a group of order 21 in which the elements operate as $\left(x^{k} y^{l}\right)\left(x^{m} y^{n}\right)=x^{k+m} y^{l+n}$. It is easy to see that $G_{1} \cong Z_{3} \oplus Z_{7}$ and by Exercise 1.9.18, we deduce that $G_{1} \cong Z_{21}$

In $G_{2}$, from the relation $a b=b^{2} a$, we see that all the $a$ symbols may be moved to the right of any $b$ symbols, though possibly changing the power on b. In particular,
$$
a^{n} b=a^{n-1} b^{2} a=a^{n-2}(a b) b a=a^{n-2} b^{2} a b a=a^{n-2} b^{4} a^{2}=\cdots=b^{2^{n}} a^{n}
$$
and also
$$
a^{n} b^{k}=b^{2^{n}} a^{n} b^{k-1}=b^{2^{n}} b^{2^{n}} a^{n} b^{k-2}=\cdots=b^{k 2^{n}} a^{n}
$$

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Presentations and Homomorphisms

Suppose that $G$ has a presentation $\left\langle g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{k} \mid R_{1} \quad R_{2} \quad \cdots, R_{s}\right\rangle$. Every element $w \in G$ is a word in the generators, $w=u_{1}^{\alpha_{1}} u_{2}^{\alpha_{2}} \cdots u_{\ell}^{\alpha_{\ell}}$, with $u_{i} \in$ $\left{g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{k}\right}$, so for a homomorphism $\varphi: G \rightarrow H$ we have
$$
\varphi(w)=\varphi\left(u_{1}\right)^{\alpha_{1}} \varphi\left(u_{2}\right)^{\alpha_{2}} \cdots \varphi\left(u_{\ell}\right)^{\alpha_{\ell}}
$$
Hence, $\varphi$ is entirely determined by the values of $\varphi\left(g_{1}\right), \varphi\left(g_{2}\right), \ldots, \varphi\left(g_{k}\right)$.

When trying to construct a homomorphism from $G$ to a group $H$, it is not possible to associate arbitrary elements in $H$ to the generators of $G$ and always obtain a homomorphism. The following theorem makes this precise.
Theorem 1.10.10 (Extension Theorem on Generators)
Let $G=\left\langle g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{k} \mid R_{1} \quad R_{2} \quad \cdots, R_{s}\right\rangle$ and let $h_{1}, h_{2}, \ldots, h_{k} \in H$ be elements that satisfy the relations $R_{i}$ as the generators of $G$ when replacing $g_{i}$ with $h_{i}$ for $i=1,2, \ldots, k$. Then the function $\left{g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{k}\right} \rightarrow H$ that maps $g_{i} \mapsto h_{i}$ for $i=1,2, \ldots, k$ can be extended to a unique homomorphism $\varphi: G \rightarrow H$ that has $\varphi\left(g_{i}\right)=h_{i}$.
Proof. We define the function $\varphi: G \rightarrow H$ by $\varphi\left(g_{i}\right)=h_{i}$ for $i=1,2, \ldots, k$ and for each element $g \in G$, if $g=u_{1}^{\alpha_{1}} u_{2}^{\alpha_{2}} \cdots u_{\ell}^{\alpha_{\ell}}$ with $u_{j} \in\left{g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{k}\right}$, then
$$
\varphi(g) \stackrel{\text { def }}{=} \varphi\left(u_{1}\right)^{\alpha_{1}} \varphi\left(u_{2}\right)^{\alpha_{2}} \cdots \varphi\left(u_{\ell}\right)^{\alpha_{\ell}} .
$$
By construction, $\varphi$ satisfies the homomorphism property $\varphi(x y)=\varphi(x) \varphi(y)$ for all $x, y \in G$. However, since different words can be equal, we have not yet determined if $\varphi$ is a well-defined function.

Two words $v$ and $w$ in the generators $g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{k}$ are equal if and only if there is a finite sequence of words $w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n}$ such that $v=w_{1}, w=w_{n}$, and $w_{i}$ to $w_{i+1}$ are related to each other by either one application of a power rule (as given in Proposition 1.2.12) or one application of a relation $R_{j}$. Since the elements $h_{1}, h_{2}, \ldots, h_{k} \in H$ satisfy the same relations $R_{1}, R_{2}, \ldots, R_{s}$ as $g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{k}$, then the same equalities apply between the words $\varphi\left(w_{i}\right)$ and $\varphi\left(w_{i+1}\right)$ as between $w_{i}$ and $w_{i+1}$. This establishes the chain of equalities
$$
\varphi(v)=\varphi\left(w_{1}\right)=\varphi\left(w_{2}\right)=\cdots=\varphi\left(w_{n}\right)=\varphi(w) .
$$
Hence, if $v=w$ are words in $G$, then $\varphi(v)=\varphi(w)$. Thus, $\varphi$ is a well-defined function and hence is a homomorphism.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Defining Groups from a Presentation

由表示定义的组类似于自由组，因为它首先通过其符号来理解，而不是表示某些函数、矩阵 或数字的符号。在由表示定义的组中，元駁只是生成器中的简化词，但关系强加了额外的简 化，而不仅仅是任何组中的㚖规则。
示例 1.10.6。为了说明各种关系集的异同，请考虑以下三组。
$$
G_{1}=\left\langle x, y \mid x^{3}=y^{7}=1, x y=y x\right\rangle \quad G_{2}=\left\langle a, b \mid a^{3}=b^{7}=1, a b=b^{2} a\right\rangle G_{3}
$$
在 $G_{1}$ ，自从 $x y=y x$, 在生成器中的任何单词 $x$ 和 $y$ ，所有 $x$ 符兮可以向左移动。因此，所 有元㛃在 $G_{1}$ 可以写成 $x^{k} y^{\ell}$. 此外，由于 $x^{3}=y^{7}=1$ ， 然后 $x^{i} y^{j}$ 和 $0 \leq i \leq 2$ 和
$0 \leq j \leq 6$ 给出所有元溸 $G_{1}$. 我们声称所有 21 个元䮖都是不同的。为了证明这一点，我们 必须证明 $x^{i} y^{j}$ 是不同的 $0 \leq i \leq 2$ 和 $0 \leq j \leq 6$. 如果 $x^{k} y^{\ell}=x^{m} y^{n}$ ，我们有
$$
x^{k} y^{\ell}=x^{m} y^{n} \Longleftrightarrow x^{k-m}=y^{n-\ell}
$$
通过推论 $1.3 .7$ ， 自从 $x^{3}=1 ，$ 的顺序 $x^{k-m}$ 除以 3 并且，因为 $y^{7}=1$ ， 的顺序 $y^{n-\ell}$ 除 7 . 自从 $x^{k-m}=y^{n-\ell}$ ，那么这个元嗉的阶一定要除 $\operatorname{gcd}(3,7)=1$. 因此，
$x^{k-m}=y^{n-\ell}=1$. 因此，3个除法 $k-m$ 和 7 分 $n-\ell$ ，但如果我们假设 $0 \leq k, m \leq 2$ 和 $0 \leq \ell, n \leq 6$ ，那么我们得出结论 $k=m$ 和 $n=\ell$. 这证明了这一说法。因此， $G_{1}$ 是一 组 21 阶的元蜮，其中元拜的操作为 $\left(x^{k} y^{l}\right)\left(x^{m} y^{n}\right)=x^{k+m} y^{l+n}$. 很容易看出 $G_{1} \cong Z_{3} \oplus Z_{7}$ 通过练习 $1.9 .18$ ，我们推断出 $G_{1} \cong Z_{21}$
在 $G_{2}$ ，从关系 $a b=b^{2} a$, 我们看到所有 $a$ 符号可以移动到任何的右侧 $b$ 符号，尽管可能会改 变 $b$ 上的电源。尤其是，
$$
a^{n} b=a^{n-1} b^{2} a=a^{n-2}(a b) b a=a^{n-2} b^{2} a b a=a^{n-2} b^{4} a^{2}=\cdots=b^{2^{n}} a^{n}
$$
并且
$$
a^{n} b^{k}=b^{2^{n}} a^{n} b^{k-1}=b^{2^{n}} b^{2^{n}} a^{n} b^{k-2}=\cdots=b^{k 2^{n}} a^{n}
$$

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Presentations and Homomorphisms

假设 $G$ 有一个演示文稿 $\left\langle g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{k} \mid R_{1} \quad R_{2} \quad \cdots, R_{s}\right\rangle$. 每一个元素 $w \in G$ 是生成 器中的一个词， $w=u_{1}^{\alpha_{1}} u_{2}^{\alpha_{2}} \cdots u_{\ell}^{\alpha_{t}}$ ，和 $u_{i} \in$ left{g_{1}, g_{{2}, \dots, g_{k}}right $}$, 所以对 于同态 $\varphi: G \rightarrow H$ 我们有
$$
\varphi(w)=\varphi\left(u_{1}\right)^{\alpha_{1}} \varphi\left(u_{2}\right)^{\alpha_{2}} \cdots \varphi\left(u_{\ell}\right)^{\alpha_{\ell}}
$$
因此， $\varphi$ 完全由值决定 $\varphi\left(g_{1}\right), \varphi\left(g_{2}\right), \ldots, \varphi\left(g_{k}\right)$.
当试图从 $G$ 对一组 $H$ ，不可能将任意元隻关联到 $H$ 对发电机 $G$ 并且总是获得同态。以下定理 使这一点变得精确。
定理 $1.10 .10$ (生成器的扩展定理)
让 $G=\left\langle g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{k} \mid R_{1} \quad R_{2} \quad \cdots, R_{s}\right\rangle$ 然后让 $h_{1}, h_{2}, \ldots, h_{k} \in H$ 是满足关系 的元嗉 $R_{i}$ 作为生成器 $G$ 更换时 $g_{i}$ 和 $h_{i}$ 为了 $i=1,2, \ldots, k$. 然后函数

Uleft{g_{1}, g_{2}, Vdots, g_{k}}right } \rightarrowH H那映射 $g_{i} \mapsto h_{i}$ 为了 $i=1,2, \ldots, k$ 可以扩 展为唯一的同态 $\varphi: G \rightarrow H$ 具有 $\varphi\left(g_{i}\right)=h_{i}$.
证明。我们定义函数 $\varphi: G \rightarrow H$ 经过 $\varphi\left(g_{i}\right)=h_{i}$ 为了 $i=1,2, \ldots, k$ 并且对于每个元表 $g \in G$ ，如果 $g=u_{1}^{\alpha_{1}} u_{2}^{\alpha_{2}} \cdots u_{\ell}^{\alpha_{\ell}} \mathrm{~ 和 ~ U _ { } } ~ l i n V e f t { g _ { 1 } , ~}$
$$
\varphi(g) \stackrel{\text { def }}{=} \varphi\left(u_{1}\right)^{\alpha_{1}} \varphi\left(u_{2}\right)^{\alpha_{2}} \cdots \varphi\left(u_{\ell}\right)^{\alpha_{\ell}}
$$
通过施工， $\varphi$ 满足同态性质 $\varphi(x y)=\varphi(x) \varphi(y)$ 对所有人 $x, y \in G$. 然而，由于不同的词可 以相等，我们还没有确定是否 $\varphi$ 是一个定义明确的函数。
两个字 $v$ 和 $w$ 在发电机 $g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{k}$ 当且仅当存在有限的单词序列时才相等 $w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n}$ 这样 $v=w_{1}, w=w_{n}$ ，和 $w_{i}$ 至 $w_{i+1}$ 通过幕规则的一种应用（如命题 1.2.12 中给出) 或关系的一种应用彼此相关 $R_{j}$. 由于元羏 $h_{1}, h_{2}, \ldots, h_{k} \in H$ 满足相同的 关系 $R_{1}, R_{2}, \ldots, R_{s}$ 作为 $g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{k}$ ，那么词之间也有相同的等式 $\varphi\left(w_{i}\right)$ 和 $\varphi\left(w_{i+1}\right)$ 作为之间 $w_{i}$ 和 $w_{i+1}$. 这建立了平等链
$$
\varphi(v)=\varphi\left(w_{1}\right)=\varphi\left(w_{2}\right)=\cdots=\varphi\left(w_{n}\right)=\varphi(w) .
$$
因此，如果 $v=w$ 是单词 $G$ ，然后 $\varphi(v)=\varphi(w)$. 因此， $\varphi$ 是一个定义明确的函数，因此是 一个同态。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。