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在数学中，图论是对图的研究，它是用来模拟对象之间成对关系的数学结构。这里，图由顶点（也称为节点或点）组成，这些顶点由边（也称为链接或线）连接。

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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Analyzing Optimal Drawings of G13

We divide the proof of Theorem 2 into two steps. We call red the edges of $G_{13}$ (Fig. 1(a)) which form the path with multiple edges on $\left(u_{5}, u_{4}, u_{3}, u_{2}, u_{1}, x_{1}, x_{2}\right.$, $\left.v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5}\right)$, and we call blue the edges $\left{u_{i}, v_{j}\right}$ where $i, j \in{1,2,3,4}$.
(1) We will first show that there is an optimal drawing (i.e., one minimizing the number of crossings) of $G_{13}$ such that no red edge crosses a red or a blue edge. Note that blue-blue crossings are still allowed (and likely to occur).
(2) While considering drawings as in the first point, we will focus only on selected crossings (roughly, those involving a blue edge), and prove at least 13 of them, or at least 12 with the remaining drawing still being non-planar.
We start with some basic facts about the crossing number.
Proposition 1 (folklore). a) If $D$ is an optimal drawing of a graph $G$, then two edges do not cross more than once, and not at all if sharing a common end.
b) If e and $f$ are parallel edges in $G$ (i.e., $e, f$ have the same end vertices), then there is an optimal drawing of $G$ in which $e$ and $f$ are drawn “closely together”, meaning that they cross the same other edges in the same order.

In view of Proposition 1(b), we adopt the following view of multiple edges: If the vertices $u$ and $v$ are joined by $p$ parallel edges, we view all $p$ of them as one edge $f$ of weight $p$. If (multiple) edges $f$ and $g$ of weights $p$ and $q$ cross each other, then their crossing naturally contributes the amount of $p \cdot q$ to the total number of crossings. With help of the previous, we now finish the first step:
Lemma 1. There exists an optimal drawing of the graph $G_{13}$ in which no red edge crosses a red or a blue edge, or $\operatorname{cr}\left(G_{13}\right) \geq 13$.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Counting Selected Crossings in a Drawing of G13

In the second step, we introduce two additional sorts of edges of $G_{13}$. The edges $u_{5} x_{1}$ and $v_{5} x_{2}$ are called green, and all remaining edges of $\left({-} x{13}\right.$. I et $C_{-} x_{0}$ denote the subgraph of $G_{13}$ formed by all red and gray edges and the incident vertices. Let $R$ denote the (multi)path of all red edges.

Lemma 2. Let $D$ be an optimal drawing of $G_{13}$ as claimed by Lemma 1. If the subdrawing of $G_{0}$ within $D$ is planar, then $D$ has at least 13 crossings.

Proof (a sketch). There are only two non-equivalent planar drawings of $G_{0}$, as in Fig. 2. We picture them with the red path $R$ drawn as a horizontal line. We call a blue edge of $G_{13}$ bottom if it is attached to $R$ from below at both ends, and top if attached from above at both ends. A blue edge is switching if it is neither top nor bottom. Note that we have only crossings involving a green edge, or crossings of a blue edge with a blue or gray edge.
If $G_{0}$ is drawn as in Fig. 2(a), by the Jordan curve theorem, we deduce:
(I) If a blue edge $e$ is bottom (top), and a blue edge $e^{\prime} \neq e$ attaches to $R$ from below (from above) at its end which is between the ends of $e$ on $R$, then $e$ and $e^{\prime}$ cross. In particular, two bottom (two top) blue edges always cross.
(II) A top (switching) blue edge crosses at least 4 (at least 3 ) gray edges.
(III) If there is weight $k$ of top (or switching) blue edges and weight $\ell$ of bottom blue edges, then each (or at least one) green edge must cross $\min (k, \ell) \leq 3$ blue or red edges.

图论代考

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Analyzing Optimal Drawings of G13

我们将定理 2 的证明分为两个步骤。我们称红色为边缘 $G_{13}$ (图 1 (a)) 形成了具有多 个边缘的路径 $\left(u_{5}, u_{4}, u_{3}, u_{2}, u_{1}, x_{1}, x_{2}, v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5}\right)$ ，我们称蓝色为边缘 Veft{u_{i},v_{j}rright} 在哪里 $i, j \in 1,2,3,4$.
(1) 我们将首先证明存在一个最优的绘图 (即，一个最小化交叉次数的绘图) $G_{13}$ 使得没 有红边穿过红边或蓝边。请注意，蓝监交叉仍然是允许的（并且可能会发生）。
(2) 在考虑第一点的图纸时，我们将只关注选定的交叉点（大致是那些涉及监色边缘的交 叉点），并证明其中至少有 13 个，或者至少有 12 个，而其余的图形仍然是非平面的. 我们从关于交叉数的一些基本事实开始。
命题 1 (民间传说) 。a) 如果 $D$ 是图的最佳绘制 $G$ ，那么两条边不会交叉超过一次，如果 共字一个公共端，则根本不会交叉。
b) 如果 e 和 $f$ 是平行边 $G$ (IE， $e, f$ 具有相同的末端顶点)，那么有一个最佳绘图 $G$ 其中 $e$ 和 $f$ 被“尜密地结合在一起”，这意味着它们以相同的顺序穿过相同的其他边。
鉴于命题 1 (b)，我们采用以下多重边的观点: 如果顶点 $u$ 和 $v$ 被加入 $p$ 平行边，我们亘看所 有 $p$ 其中一个边缘 $f$ 重量 $p$. 如果 (多条) 边 $f$ 和 $g$ 重量 $p$ 和 $q$ 互相交叉，那么他们的交叉自然 会贡㓓数量 $p \cdot q$ 为过境总数。借助前面的帮助，我们现在完成了第一步:
引理 1. 存在图的最优绘制 $G_{13}$ 其中没有红边与红边或蓝边相交，或 $\operatorname{cr}\left(G_{13}\right) \geq 13$.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Counting Selected Crossings in a Drawing of G13

在第二步中，我们引入了两种额外的边 $G_{13}$. 边豚 $u_{5} x_{1}$ 和 $v_{5} x_{2}$ 被称为绿色，并且所有剩 余的边傢 $\left(-x 13\right.$. 我等 $C_{-} x_{0}$ 表示的子图 $G_{13}$ 由所有红色和灰色边豚以及入射顶点形成。 让 $R$ 表示所有红色边缘的（多）路径。
引理 2. 让 $D$ 是一个最优的绘图 $G_{13}$ 如引理 1 所述。如果子图 $G_{0}$ 内 $D$ 是平面的，那么D至 少有 13 个过境点。
证明 (草图) 。只有两个不等价的平面图 $G_{0}$ ，如图 2 所示。我们用红色路径描绘它们 $R$ 绘制为水平线。我们称之为蓝色边缘 $G_{13}$ 底部，如果它连接到 $R$ 从下面从两端，如果从上 面在两猯连接，则从顶部。如果它既不是顶部也不是底部，则蓝色边豚正在切换。请注 意，我们只有涉及绿色边傢的交叉点，或蓝色边缘与蓝色或灰色边缘的交叉点。 如果 $G_{0}$ 如图 2(a) 所示，根据 Jordan 曲线定理，我们推导出:
(I) 如果一个蓝色边豚 $e$ 是底部 (顶部) 和蓝色边缘 $e^{\prime} \neq e$ 附于 $R$ 从下面 (从上面) 在它的 末端，它在末端之间 $e$ 上 ，然后 $e$ 和 $e^{\prime}$ 叉。特别是，两个底部 (两个顶部) 蓝色边䖶总 是交叉。
(II) 顶部 (切换) 蓝色边傢与至少 4 个 (至少 3 个) 灰色边缘交叉。
（三）如果有重量 $k$ 顶部 (或切换) 蓝色边缘和重量 $\ell$ 底部蓝色边逐，然后每个（或至少一 个) 绿色边豚必须交叉 $\min (k, \ell) \leq 3$ 蓝色或红色边豚。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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