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在数学中,图论是对图的研究,它是用来模拟对象之间成对关系的数学结构。这里,图由顶点(也称为节点或点)组成,这些顶点由边(也称为链接或线)连接。
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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Long Induced Paths
Our main result is the following, which settles this problem and gives an asymptotically optimal result for the size of a largest induced path in $G(n, p)$.
Theorem 1. For any $\epsilon>0$ there is $d_{0}$ such that whp $G(n, p)$ contains an induced path of length at least $(2-\epsilon) \frac{n}{d} \log d$ whenever $d_{0} \leq d=p n=o(n)$.
For the sake of generality, we state our result for a wide range of functions $d=$ $d(n)$. However, we remark that the most interesting case is when $d$ is a sufficiently large constant. In fact, for dense graphs, when $d \geq n^{1 / 2} \log ^{2} n$, more precise results are already known (cf. $[6,19])$.
Some of the earlier results $[6,11,16]$ are phrased in terms of induced cycles (holes). Using a simple sprinkling argument, one can see that aiming for a cycle instead of a path does not make the problem any harder.
We briefly explain our strategy. Roughly speaking, the idea is to find a long induced path in two steps. First, we find many disjoint paths of some chosen length $L$, such that the subgraph consisting of their union is induced. To achieve this, we generalize a recent result of Cooley, Draganić, Kang and Sudakov.who obtained large induced matchings. We will discuss this further in Sect. 3 . Assuming now we can find such an induced linear forest $F$, the aim is to connect almost all of the small paths into one long induced path, using a few additional vertices. As a “reservoir” for these connecting vertices, we find a large independent set $I$ which is disjoint from $F$. To model the connecting step, we give each path in $F$ a direction, and define an auxiliary digraph whose vertices are the paths, and two paths $\left(P_{1}, P_{2}\right)$ form an edge if there exists a “connecting” vertex $a \in I$ that has some edge to the last $\epsilon L$ vertices of $P_{1}$ and some edge to the first $\epsilon L$ vertices of $P_{2}$, but no edge to the rest of $F$. Our goal is to find an almost spanning path in this auxiliary digraph. Observe that this will provide us with a path in $G(n, p)$ of length roughly $|F|$. The intuition is that the auxiliary digraph behaves quite randomly, which gives us hope that, even though it is very sparse, we can find an almost spanning path.
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Induced Forests with Small Components
As outlined above, in the first step of our argument, we seek an induced linear forest whose components are reasonably long paths. For this, we generalize a recent result of Cooley, Draganić, Kang and Sudakov [3]. They proved that whp $G(n, p)$ contains an induced matching with $\sim 2 \log {q}(n p)$ vertices, which is asymptotically best possible. They also anticipated that using a similar approach one can probably obtain induced forests with larger, but bounded components. As a by-product, we confirm this. To state our result, we need the following definition. For a given graph $T$, a $T$-matching is a graph whose components are all isomorphic to $T$. Hence, a $K{2}$-matching is simply a matching, and the following for $T=K_{2}$ implies the main result of [3].
Theorem 2. For any $\epsilon>0$ and tree $T$, there exists $d_{0}>0$ such that whp the order of the largest induced $T$-matching in $G(n, p)$ is $(2 \pm \epsilon) \log {q}(n p)$, where $q=\frac{1}{1-p}$, whenever $\frac{d{0}}{n} \leq p \leq 0.99$
We use the same approach as in [3], which goes back to the work of Frieze [10] (see also $[1,20]$ ). The basic idea is as follows. Suppose we have a random variable $X$ and want to show that whp, $X \geq b-t$, where $b$ is some “target” value and $t$ a small error. For many natural variables, we know that $X$ is “concentrated”, say $\mathbb{P}[|X-\mathbb{E}[X]| \geq t / 2]<\rho$ for some small $\rho$. This is the case for instance when $X$ is determined by many independent random choices, each of which has a small effect. However, it might be difficult to estimate $\mathbb{E}[X]$ well enough. But if we know in addition that $\mathbb{P}[X \geq b] \geq \rho$, then we can combine both estimates to $\mathbb{P}[X \geq b]>\mathbb{P}[X \geq \mathbb{E}[X]+t / 2]$, which clearly implies that $b \leq$ $\mathbb{E}[X]+t / 2$. Applying now the other side of the concentration inequality, we infer $\mathbb{P}[X \leq b-t] \leq \mathbb{P}[X \leq \mathbb{E}[X]-t / 2]<\rho$, as desired.
图论代考
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Long Induced Paths
我们的主要结果如下,它解决了这个问题, 并给出了一个最大诱导路径大小的渐近最优结 果 $G(n, p)$.
定理 1. 对于任何 $\epsilon>0$ 有 $d_{0}$ 这样whp $G(n, p)$ 至少包含一条长度为的诱导路径 $(2-\epsilon) \frac{n}{d} \log d$ 每当 $d_{0} \leq d=p n=o(n)$.
为了概括起见,我们陈述了我们对各种函数的结果 $d=d(n)$. 然而,我们注意到最有趣的 情况是 $d$ 是一个足够大的常数。事实上,对于稠密图,当 $d \geq n^{1 / 2} \log ^{2} n$ ,更精确的结 果是已知的 (cf. [6, 19]).
一些早期的结果 $[6,11,16]$ 用诱导循坏 (空穴) 来表述。使用简单的洒水论据,可以看出 瞄准循环而不是路径不会使问题变得更难。
我们简要解释一下我们的策略。粗略地说,这个想法是分两步找到一条长诱导路径。首 先,我们发现许多选择长度的不相交路径 $L$, 从而诱导出由它们的并集组成的子图。为了 实现这一点,我们推广了 Cooley、Draganić、Kang 和 Sudakov 最近的结果,他们获得 了大的诱导匹配。我们将在 Sect 中进一步讨论这个问题。 3. 假设现在我们可以找到这样 一个诱导线性森林 $F$ ,目的是使用一些额外的顶点将几乎所有的小路径连接成一条长的诱 导路径。作为这些连接顶点的”水库”,我们发现了一个大的独立雔合 $I$ 这与 $F$. 为了对连接 步锈进行建模,我们给出了每条路径 $F$ 一个方向,并定义一个辅助有向图,其顶点是路 径,以及两条路径 $\left(P_{1}, P_{2}\right)$ 如果存在 “连接”顶点,则形成边 $a \in I$ 到最后都有一些优势 $\epsilon L$ 的顶点 $P_{1}$ 和第一个优势 $\epsilon L$ 的顶点 $P_{2}$ ,但对其余部分没有优势 $F$. 我们的目标是在这个辅 助有向图中找到一条几乎跨越的路径。请注意,这将为我们提供一条路径 $G(n, p)$ 大致长 度 $|F|$. 直觉是辅助有向图的行为非常随机,这给了我们㹷望,即使它非常稀疏,我们也可 以找到一条几乎跨越的路径。
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Induced Forests with Small Components
如上所述,在我们论证的第一步中,我们寻求一个诱导线性森林,其组成部分是相当长的 路径。为此,我们概括] Cooley、Draganić、Kang 和 Sudakov [3] 的最新结果。他们证 明了whp $G(n, p)$ 包含与 $\sim 2 \log q(n p)$ 顶点,这是渐近最好的。他们还预计,使用类似 的方法可能会获得具有更大但有界成分的诱导森林。作为副产品,我们确认了这一点。为 了说明我们的结果,我们需要以下定义。对于给定的图 $T$ ,一个 $T$-matching 是一个图, 其组件都同构于 $T$. 因此,一个 $K 2$-matching 只是一个匹配,以下为 $T=K_{2}$ 暗示 $[3]$ 的 主要结曽。
定理 2. 对于任何 $\epsilon>0$ 和树 $T$ ,那里存在 $d_{0}>0$ 使得 whp 的最大诱导顺序 $T$-匹配在 $G(n, p)$ 是 $(2 \pm \epsilon) \log q(n p)$ ,在哪里 $q=\frac{1}{1-p}$, 每当 $\frac{d 0}{n} \leq p \leq 0.99$
我们使用与 [3] 中相同的方法,这可以追溯到 Frieze [10] 的工作 (另见 $[1,20])$ 。基本 思路如下。假设我们有一个随机变量 $X$ 并想展示那个 whp, $X \geq b-t$ ,在哪里 $b$ 是一 些”目标”值和 $t$ 一个小错误。对于许多自然变量,我们知道 $X$ 是”集中的”,说
$\mathbb{P}[|X-\mathbb{E}[X]| \geq t / 2]<\rho$ 对于一些小 $\rho$. 例如,当 $X$ 是由许多独立的随机选择决定 的,每个选择的影响很小。不过估计很难 $\mathbb{E}[X]$ 足够好。但是如果我们还知道 $\mathbb{P}[X \geq b] \geq \rho$ ,那么我们可以将两个估计结合起来 $\mathbb{P}[X \geq b]>\mathbb{P}[X \geq \mathbb{E}[X]+t / 2]$ ,这清楚地表明 $b \leq \mathbb{E}[X]+t / 2$. 现在应用集中不 等式的另一面,我们推断 $\mathbb{P}[X \leq b-t] \leq \mathbb{P}[X \leq \mathbb{E}[X]-t / 2]<\rho$ ,如预期的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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