# 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|MAT3105

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Trigonometric Polynomial Interpolation

Finally we consider the interpolation by a trigonometric polynomial on a uniform grid of $[0,2 \pi)$. First we discuss the trigonometric interpolation with an odd number of equidistant nodes $x_{k}:=\frac{2 \pi k}{2 n+1} \in[0,2 \pi), k=0, \ldots, 2 n$.

Lemma 3.6 Let $n \in \mathbb{N}$ be given and $N=2 n+1$. For arbitrary $p_{k} \in \mathbb{C}, k=$ $0, \ldots, N-1$, there exists a unique trigonometric polynomial of degree $n$,
$$p=\sum_{\ell=-n}^{n} c_{\ell} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \ell \cdot} \in \mathscr{T}{n}$$ satisfying the interpolation conditions $$p\left(x{k}\right)=p\left(\frac{2 \pi k}{2 n+1}\right)=p_{k}, \quad k=0, \ldots, 2 n .$$
The coefficients $c_{\ell} \in \mathbb{C}$ of (3.13) are given by
$$c_{\ell}=\frac{1}{2 n+1} \sum_{k=0}^{2 n} p_{k} w_{N}^{\ell k}, \quad \ell=-n, \ldots, n$$
Using the Dirichlet kernel $D_{n}$, the interpolating trigonometric polynomial (3.13) can be written in the form
$$p=\frac{1}{2 n+1} \sum_{k=0}^{2 n} p_{k} D_{n}\left(\cdot-x_{k}\right)$$
Proof

1. From the interpolation conditions (3.14) it follows by (3.2) that solving the trigonometric interpolation problem is equivalent to solving the system of linear
2. equations
3. $$4. p\left(x_{k}\right)=\sum_{\ell=-n}^{n} c_{\ell} w_{N}^{-\ell k}=p_{k}, \quad k=0, \ldots, 2 n . 5.$$

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Properties of Fourier Matrices

Now we describe the main properties of Fourier matrices.
Theorem 3.16 The Fourier matrix $\mathbf{F}{N}$ is invertible and its inverse reads as follows: $$\mathbf{F}{N}^{-1}=\frac{1}{N} \overline{\mathbf{F}}{N}=\frac{1}{N}\left(w{N}^{-j k}\right){j, k=0}^{N-1} .$$ The corresponding DFT is a bijective map on $\mathbb{C}^{N}$. The inverse DFT of length $N$ is given by the matrix-vector product $$\mathbf{a}=\mathbf{F}{N}^{-1} \hat{\mathbf{a}}=\frac{1}{N}\left(\left\langle\hat{\mathbf{a}}, \mathbf{e}{k}\right\rangle\right){k=0}^{N-1}, \quad \hat{\mathbf{a}} \in \mathbb{C}^{N}$$
such that
$$a_{j}=\frac{1}{N}\left\langle\hat{\mathbf{a}}, \mathbf{e}{k}\right\rangle=\frac{1}{N} \sum{k=0}^{N-1} \hat{a}{k} w{N}^{-j k}, \quad j=0, \ldots, N-1 .$$
Proof Relation (3.31) follows immediately from (3.28). Consequently, the $\mathrm{DFT}(N)$ is bijective on $\mathbb{C}^{N}$.
Lemma 3.17 The Fourier matrix $\mathbf{F}{N}$ satisfies $$\mathbf{F}{N}^{2}=N \mathbf{J}{N}^{\prime}, \quad \mathbf{F}{N}^{4}=N^{2} \mathbf{I}{N},$$ with the flip matrix Further we have $$\mathbf{F}{N}^{-1}=\frac{1}{N} \mathbf{J}{N}^{\prime} \mathbf{F}{N}=\frac{1}{N} \mathbf{F}{N} \mathbf{J}{N}^{\prime}$$

# 傅里叶分析代写

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Trigonometric Polynomial Interpolation

$$p=\sum_{\ell=-n}^{n} c_{\ell} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \ell \cdot} \in \mathscr{T} n$$

$$p(x k)=p\left(\frac{2 \pi k}{2 n+1}\right)=p_{k}, \quad k=0, \ldots, 2 n .$$

$$c_{\ell}=\frac{1}{2 n+1} \sum_{k=0}^{2 n} p_{k} w_{N}^{\ell k}, \quad \ell=-n, \ldots, n$$

$$p=\frac{1}{2 n+1} \sum_{k=0}^{2 n} p_{k} D_{n}\left(\cdot-x_{k}\right)$$

1. 从揷值条件 (3.14) 可以得出 (3.2) 求解三角揷值问题等价于求解线性系统
2. 方程
3. $\$ \$$Vdots, 2 \mathrm{n} 。 4. \ \$$

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Properties of Fourier Matrices

$$\mathbf{F} N^{-1}=\frac{1}{N} \overline{\mathbf{F}} N=\frac{1}{N}\left(w N^{-j k}\right) j, k=0^{N-1} .$$

$$\mathbf{a}=\mathbf{F} N^{-1} \hat{\mathbf{a}}=\frac{1}{N}(\langle\hat{\mathbf{a}}, \mathbf{e} k\rangle) k=0^{N-1}, \quad \hat{\mathbf{a}} \in \mathbb{C}^{N}$$

$$a_{j}=\frac{1}{N}\langle\hat{\mathbf{a}}, \mathbf{e} k\rangle=\frac{1}{N} \sum k=0^{N-1} \hat{a} k w N^{-j k}, \quad j=0, \ldots, N-1 .$$

$$\mathbf{F} N^{2}=N \mathbf{J} N^{\prime}, \quad \mathbf{F} N^{4}=N^{2} \mathbf{I} N,$$

$$\mathbf{F} N^{-1}=\frac{1}{N} \mathbf{J} N^{\prime} \mathbf{F} N=\frac{1}{N} \mathbf{F} N \mathbf{J} N^{\prime}$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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