# 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|MAST20026

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Circulant Matrices

An $N$-by- $N$ matrix
$\operatorname{circ} \mathbf{a}:=\left(a_{(j-k) \bmod N}\right){j, k=0}^{N-1}=\left(\begin{array}{ccccc}a{0} & a_{N-1} & \ldots & a_{2} & a_{1} \ a_{1} & a_{0} & \ldots & a_{3} & a_{2} \ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \ a_{N-1} & a_{N-2} & \ldots & a_{1} & a_{0}\end{array}\right)$
is called circulant matrix generated by $\mathbf{a}=\left(a_{k}\right){k=0}^{N-1} \in \mathbb{C}^{N}$. The first column of circ a is equal to a. A circulant matrix is a special Toeplitz matrix in which the diagonals wrap around. Remember that a Toeplitz matrix is a structured matrix $\left(a{j-k}\right){j, k=0}^{N-1}$ for given $\left(a{k}\right)_{k=1-N}^{N-1} \in \mathbb{C}^{2 N-1}$ such that the entries along each diagonal are constant.

Example $3.29$ If $\mathbf{b}{k}=\left(\delta{j-k}\right){j=0}^{N-1}, k=0, \ldots, N-1$, denote the standard basis vectors of $\mathbb{C}^{N}$, then the forward-shift matrix $\mathbf{V}{N}$ is a circulant matrix, since $\mathbf{V}{N}=$ circ $\mathbf{b}{1}$. More generally, we obtain that
$$\mathbf{V}{N}^{k}=\operatorname{circ} \mathbf{b}{k}, \quad k=0, \ldots, N-1 .$$
with $\mathbf{V}{N}^{0}=\operatorname{circ} \mathbf{b}{0}=\mathbf{I}{N}$ and $\mathbf{V}{N}^{N-1}=\mathbf{V}{N}^{-1}=\operatorname{circ} \mathbf{b}{N-1}$. The cyclic difference matrix is also a circulant matrix, since $\mathbf{I}{N}-\mathbf{V}{N}=\operatorname{circ}\left(\mathbf{b}{0}-\mathbf{b}{1}\right)$.

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Kronecker Products and Stride Permutations

In this section we consider special block matrices that are obtained by employing the Kronecker product of two matrices. These special matrices often occur by reshaping linear equations with matrix-valued unknowns to matrix-vector representations. We will also show that block circulant matrices can again be simply diagonalized using Kronecker products of Fourier matrices.

For arbitrary matrices $\mathbf{A}{M, N}=\left(a{j, k}\right){j, k=0}^{M-1, N-1} \in \mathbb{C}^{M \times N}$ and $\mathbf{B}{P, Q} \in \mathbb{C}^{P \times Q}$, the Kronecker product of $\mathbf{A}{M, N}$ and $\mathbf{B}{P, Q}$ is defined as the block matrix
\begin{aligned} \mathbf{A}{M, N} \otimes \mathbf{B}{P, Q} &:=\left(a_{j, k} \mathbf{B}{P, Q}\right){j, k=0}^{M-1, N-1} \ &=\left(\begin{array}{ccc} a_{0,0} \mathbf{B}{P, Q} & \ldots & a{0, N-1} \mathbf{B}{P, Q} \ \vdots & & \vdots \ a{M-1,0} \mathbf{B}{P, Q} & \ldots & a{M-1, N-1} \mathbf{B}_{P, Q} \end{array}\right) \in \mathbb{C}^{M P \times N Q} . \end{aligned}

In particular, for $\mathbf{a}=\left(a_{j}\right){j=0}^{M-1} \in \mathbb{C}^{M}$ and $\mathbf{b} \in \mathbb{C}^{P}$ we obtain the Kronecker product $$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b}=\left(a{j} \mathbf{b}\right){j=0}^{M-1}=\left(\begin{array}{c} a{0} \mathbf{b} \ \vdots \ a_{M-1} \mathbf{b} \end{array}\right) \in \mathbb{C}^{M P} .$$

# 傅里叶分析代写

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Circulant Matrices

circ a $:=\left(a_{(j-k) \bmod N}\right) j, k=0^{N-1}=\left(\begin{array}{llllllll}a 0 & a_{N-1} & \ldots & a_{2} & a_{1} a_{1} & a_{0} & \ldots & a_{3}\end{array}\right.$ 线环绕的特殊 Toeplitz 矩阵。请记住，Toeplitz 矩阵是结构化矩阵 $(a j-k) j, k=0^{N-1}$ 给定的 $(a k)_{k=1-N}^{N-1} \in \mathbb{C}^{2 N-1}$ 使得沿每个对角线的条目是恒定的。

$$\mathbf{V} N^{k}=\operatorname{circ} \mathbf{b} k, \quad k=0, \ldots, N-1 .$$

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Kronecker Products and Stride Permutations

$\mathbf{A} M, N \otimes \mathbf{B} P, Q:=\left(a_{j, k} \mathbf{B} P, Q\right) j, k=0^{M-1, N-1} \quad=\left(a_{0,0} \mathbf{B} P, Q \quad \ldots\right.$

$$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b}=(a j \mathbf{b}) j=0^{M-1}=\left(a 0 \mathbf{b} \vdots a_{M-1} \mathbf{b}\right) \in \mathbb{C}^{M P} .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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